1. #1

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Diğer

    Sponsorlu Bağlantılar

    Wilson Teoreminin İspatı

    A asal sayı olmak üzere,(A −1)! ≡(A −1)(mod A) olduğunu ispatlayabilir misiniz?

  2. #2

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer

    Sponsorlu Bağlantılar

    bu Wilson Teoremidir.
    (p-1)! ≡ -1 (mod p ) denkliği ancak ve ancak p asalken geçerlidir.


    p asal değilken bu denkliğin sağlanmadığı açık sanırım çünkü (p-1) e kadarki sayların çarpımı p ile bölünecektir ve sonuç -1 değil 0 olmalıdır.

    p asalken
    1.2.3....(p-2).(p-1) çarpımı yazıldığında çarpımdaki her sayı p ile aralarında asal olacaktır.
    çarpımdaki sayılardan x gibi herhangi birini ele aldığımızda çarpımda yine onunla eşleşecek y gibi bir sayı vardır öyle ki
    xy ≡ 1 (modp) olur

    her x için bu y sayısının varlığını ve tek olduğunu göstrelim
    tüm x.1 , x.2 , x.3 ... , x.(p-1) çarpımlarına bakalım
    bunlardan herhangi ikisi diyelim ki x.k ve x.m p modunda eşit olsa
    (xk-xm) ifadesinin yani x.(k-m) im p ile bölünmesi gerekir ki bu p sayısıın asal olması ile çelişir. demek ki bu çarpımlardan hiçbiri eşit olamaz. burada (p-1) tane çarpım olduğuna göre ve hiçbiri p modunda 0 olmadığına göre de her biri p modunun kalanlar sınıfını örter. sonuçta 1 değerini de bir tanesi alır.

    x=1 ve x=p-1 için 1 çarpımını vren y değerlri yine kendileri olduğundan onları dışarıda bırakalım
    2.3.4...(p-2) çarpımındaki sayılar ikişerli olara birbirleriyle eşleşip 1 çarpımı vereceklrinden p modundaki değerleri 1 olur.
    2.3....(p-2).1.(p-1) ≡1.1.(p-1) ≡ -1 (modp)

  3. #3

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    11. sınıf

    Sponsorlu Bağlantılar

    bu Wilson Teoremidir.
    (p-1)! ≡ -1 (mod p ) denkliği ancak ve ancak p asalken geçerlidir.


    p asal değilken bu denkliğin sağlanmadığı açık sanırım çünkü (p-1) e kadarki sayların çarpımı p ile bölünecektir ve sonuç -1 değil 0 olmalıdır.

    p asalken
    1.2.3....(p-2).(p-1) çarpımı yazıldığında çarpımdaki her sayı p ile aralarında asal olacaktır.
    çarpımdaki sayılardan x gibi herhangi birini ele aldığımızda çarpımda yine onunla eşleşecek y gibi bir sayı vardır öyle ki
    xy ≡ 1 (modp) olur

    her x için bu y sayısının varlığını ve tek olduğunu göstrelim
    tüm x.1 , x.2 , x.3 ... , x.(p-1) çarpımlarına bakalım
    bunlardan herhangi ikisi diyelim ki x.k ve x.m p modunda eşit olsa
    (xk-xm) ifadesinin yani x.(k-m) im p ile bölünmesi gerekir ki bu p sayısıın asal olması ile çelişir. demek ki bu çarpımlardan hiçbiri eşit olamaz. burada (p-1) tane çarpım olduğuna göre ve hiçbiri p modunda 0 olmadığına göre de her biri p modunun kalanlar sınıfını örter. sonuçta 1 değerini de bir tanesi alır.

    x=1 ve x=p-1 için 1 çarpımını vren y değerlri yine kendileri olduğundan onları dışarıda bırakalım
    2.3.4...(p-2) çarpımındaki sayılar ikişerli olara birbirleriyle eşleşip 1 çarpımı vereceklrinden p modundaki değerleri 1 olur.
    2.3....(p-2).1.(p-1) ≡1.1.(p-1) ≡ -1 (modp)
    Hocam, sanki ispat değil, sanat eseri. Bir kağıda yazıp bir yere asasım var. Çok güzel olmuş.

  4. #4

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer
    galiba lisede öğrenmiştim, telifi bende değil
    büyük ihtimalle teoremin yazıldığı günlerde yapılmıştır.

Diğer çözümlü sorular için alttaki linkleri ziyaret ediniz


 

  • Bu yazıyı beğenerek
    destek
    verebilirsiniz

    Foruma üye olmana gerek yok! Facebook hesabınla yorumlarını bekliyoruz!
  • Benzer konular

    1. Kosinüs Teoreminin İspatı
      Mat., bu konuyu "Geometri Formülleri" forumunda açtı.
      : 0
      : 23 Eki 2012, 08:37
    2. Açırtay Teoreminin İspatını Merak Ediyorum.
      Mat., bu konuyu "Sohbet" forumunda açtı.
      : 10
      : 23 Eki 2012, 07:58
    3. Kürenin Hacminin İspatı, Silindirin Hacminin İspatı, Koni Hacminin İspatı
      Admin, bu konuyu "Matematik Sunumları" forumunda açtı.
      : 6
      : 26 Eki 2011, 13:34
    4. benzerlik kuralları -Thales Teoreminin ispatı
      1997VOLKAN, bu konuyu "8. sınıf matematik soruları" forumunda açtı.
      : 1
      : 30 Nis 2011, 20:33
    5. Kosinüs Teoreminin Bağıntısının İspatı
      Admin, bu konuyu "Matematik Formülleri" forumunda açtı.
      : 0
      : 11 Oca 2011, 22:20
    Forum Kullanım ve Gizlilik Kuralları