A asal sayı olmak üzere,(A −1)! ≡(A −1)(mod A) olduğunu ispatlayabilir misiniz?
Yazdırılabilir görünüm
A asal sayı olmak üzere,(A −1)! ≡(A −1)(mod A) olduğunu ispatlayabilir misiniz?
bu Wilson Teoremidir.
(p-1)! ≡ -1 (mod p ) denkliği ancak ve ancak p asalken geçerlidir.
p asal değilken bu denkliğin sağlanmadığı açık sanırım çünkü (p-1) e kadarki sayların çarpımı p ile bölünecektir ve sonuç -1 değil 0 olmalıdır.
p asalken
1.2.3....(p-2).(p-1) çarpımı yazıldığında çarpımdaki her sayı p ile aralarında asal olacaktır.
çarpımdaki sayılardan x gibi herhangi birini ele aldığımızda çarpımda yine onunla eşleşecek y gibi bir sayı vardır öyle ki
xy ≡ 1 (modp) olur
her x için bu y sayısının varlığını ve tek olduğunu göstrelim
tüm x.1 , x.2 , x.3 ... , x.(p-1) çarpımlarına bakalım
bunlardan herhangi ikisi diyelim ki x.k ve x.m p modunda eşit olsa
(xk-xm) ifadesinin yani x.(k-m) im p ile bölünmesi gerekir ki bu p sayısıın asal olması ile çelişir. demek ki bu çarpımlardan hiçbiri eşit olamaz. burada (p-1) tane çarpım olduğuna göre ve hiçbiri p modunda 0 olmadığına göre de her biri p modunun kalanlar sınıfını örter. sonuçta 1 değerini de bir tanesi alır.
x=1 ve x=p-1 için 1 çarpımını vren y değerlri yine kendileri olduğundan onları dışarıda bırakalım
2.3.4...(p-2) çarpımındaki sayılar ikişerli olara birbirleriyle eşleşip 1 çarpımı vereceklrinden p modundaki değerleri 1 olur.
2.3....(p-2).1.(p-1) ≡1.1.(p-1) ≡ -1 (modp)
Hocam, sanki ispat değil, sanat eseri. :D Bir kağıda yazıp bir yere asasım var. Çok güzel olmuş.gereksizyorumcu'den alıntı:bu Wilson Teoremidir.
(p-1)! ≡ -1 (mod p ) denkliği ancak ve ancak p asalken geçerlidir.
p asal değilken bu denkliğin sağlanmadığı açık sanırım çünkü (p-1) e kadarki sayların çarpımı p ile bölünecektir ve sonuç -1 değil 0 olmalıdır.
p asalken
1.2.3....(p-2).(p-1) çarpımı yazıldığında çarpımdaki her sayı p ile aralarında asal olacaktır.
çarpımdaki sayılardan x gibi herhangi birini ele aldığımızda çarpımda yine onunla eşleşecek y gibi bir sayı vardır öyle ki
xy ≡ 1 (modp) olur
her x için bu y sayısının varlığını ve tek olduğunu göstrelim
tüm x.1 , x.2 , x.3 ... , x.(p-1) çarpımlarına bakalım
bunlardan herhangi ikisi diyelim ki x.k ve x.m p modunda eşit olsa
(xk-xm) ifadesinin yani x.(k-m) im p ile bölünmesi gerekir ki bu p sayısıın asal olması ile çelişir. demek ki bu çarpımlardan hiçbiri eşit olamaz. burada (p-1) tane çarpım olduğuna göre ve hiçbiri p modunda 0 olmadığına göre de her biri p modunun kalanlar sınıfını örter. sonuçta 1 değerini de bir tanesi alır.
x=1 ve x=p-1 için 1 çarpımını vren y değerlri yine kendileri olduğundan onları dışarıda bırakalım
2.3.4...(p-2) çarpımındaki sayılar ikişerli olara birbirleriyle eşleşip 1 çarpımı vereceklrinden p modundaki değerleri 1 olur.
2.3....(p-2).1.(p-1) ≡1.1.(p-1) ≡ -1 (modp)
galiba lisede öğrenmiştim, telifi bende değil :)
büyük ihtimalle teoremin yazıldığı günlerde yapılmıştır.