1. #1

    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Diğer

    Sponsorlu Bağlantılar

    Wilson Teoreminin İspatı

    A asal sayı olmak üzere,(A −1)! ≡(A −1)(mod A) olduğunu ispatlayabilir misiniz?

  2. #2

    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer

    Sponsorlu Bağlantılar

    bu Wilson Teoremidir.
    (p-1)! ≡ -1 (mod p ) denkliği ancak ve ancak p asalken geçerlidir.


    p asal değilken bu denkliğin sağlanmadığı açık sanırım çünkü (p-1) e kadarki sayların çarpımı p ile bölünecektir ve sonuç -1 değil 0 olmalıdır.

    p asalken
    1.2.3....(p-2).(p-1) çarpımı yazıldığında çarpımdaki her sayı p ile aralarında asal olacaktır.
    çarpımdaki sayılardan x gibi herhangi birini ele aldığımızda çarpımda yine onunla eşleşecek y gibi bir sayı vardır öyle ki
    xy ≡ 1 (modp) olur

    her x için bu y sayısının varlığını ve tek olduğunu göstrelim
    tüm x.1 , x.2 , x.3 ... , x.(p-1) çarpımlarına bakalım
    bunlardan herhangi ikisi diyelim ki x.k ve x.m p modunda eşit olsa
    (xk-xm) ifadesinin yani x.(k-m) im p ile bölünmesi gerekir ki bu p sayısıın asal olması ile çelişir. demek ki bu çarpımlardan hiçbiri eşit olamaz. burada (p-1) tane çarpım olduğuna göre ve hiçbiri p modunda 0 olmadığına göre de her biri p modunun kalanlar sınıfını örter. sonuçta 1 değerini de bir tanesi alır.

    x=1 ve x=p-1 için 1 çarpımını vren y değerlri yine kendileri olduğundan onları dışarıda bırakalım
    2.3.4...(p-2) çarpımındaki sayılar ikişerli olara birbirleriyle eşleşip 1 çarpımı vereceklrinden p modundaki değerleri 1 olur.
    2.3....(p-2).1.(p-1) ≡1.1.(p-1) ≡ -1 (modp)

  3. #3

    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    11. sınıf

    Sponsorlu Bağlantılar

    Alıntı gereksizyorumcu'den alıntı Mesajı göster
    bu Wilson Teoremidir.
    (p-1)! ≡ -1 (mod p ) denkliği ancak ve ancak p asalken geçerlidir.


    p asal değilken bu denkliğin sağlanmadığı açık sanırım çünkü (p-1) e kadarki sayların çarpımı p ile bölünecektir ve sonuç -1 değil 0 olmalıdır.

    p asalken
    1.2.3....(p-2).(p-1) çarpımı yazıldığında çarpımdaki her sayı p ile aralarında asal olacaktır.
    çarpımdaki sayılardan x gibi herhangi birini ele aldığımızda çarpımda yine onunla eşleşecek y gibi bir sayı vardır öyle ki
    xy ≡ 1 (modp) olur

    her x için bu y sayısının varlığını ve tek olduğunu göstrelim
    tüm x.1 , x.2 , x.3 ... , x.(p-1) çarpımlarına bakalım
    bunlardan herhangi ikisi diyelim ki x.k ve x.m p modunda eşit olsa
    (xk-xm) ifadesinin yani x.(k-m) im p ile bölünmesi gerekir ki bu p sayısıın asal olması ile çelişir. demek ki bu çarpımlardan hiçbiri eşit olamaz. burada (p-1) tane çarpım olduğuna göre ve hiçbiri p modunda 0 olmadığına göre de her biri p modunun kalanlar sınıfını örter. sonuçta 1 değerini de bir tanesi alır.

    x=1 ve x=p-1 için 1 çarpımını vren y değerlri yine kendileri olduğundan onları dışarıda bırakalım
    2.3.4...(p-2) çarpımındaki sayılar ikişerli olara birbirleriyle eşleşip 1 çarpımı vereceklrinden p modundaki değerleri 1 olur.
    2.3....(p-2).1.(p-1) ≡1.1.(p-1) ≡ -1 (modp)
    Hocam, sanki ispat değil, sanat eseri. Bir kağıda yazıp bir yere asasım var. Çok güzel olmuş.

  4. #4

    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer
    galiba lisede öğrenmiştim, telifi bende değil
    büyük ihtimalle teoremin yazıldığı günlerde yapılmıştır.

Diğer çözümlü sorular için alttaki linkleri ziyaret ediniz


 

  1. Bu yazıyı beğenerek
    destek
    verebilirsiniz

    Foruma üye olmana gerek yok! Facebook hesabınla yorumlarını bekliyoruz!

Benzer konular

  1. Kosinüs Teoreminin İspatı
    Mat. bu konuyu Geometri Formülleri forumunda açtı
    Cevap: 0
    Son mesaj : 23 Eki 2012, 10:37
  2. Açırtay Teoreminin İspatını Merak Ediyorum.
    Mat. bu konuyu Sohbet forumunda açtı
    Cevap: 10
    Son mesaj : 23 Eki 2012, 09:58
  3. Kürenin Hacminin İspatı, Silindirin Hacminin İspatı, Koni Hacminin İspatı
    Serkan bu konuyu Matematik Sunumları forumunda açtı
    Cevap: 6
    Son mesaj : 26 Eki 2011, 15:34
  4. benzerlik kuralları -Thales Teoreminin ispatı
    1997VOLKAN bu konuyu 8. sınıf matematik soruları forumunda açtı
    Cevap: 1
    Son mesaj : 30 Nis 2011, 22:33
  5. Kosinüs Teoreminin Bağıntısının İspatı
    Serkan bu konuyu Matematik Formülleri forumunda açtı
    Cevap: 0
    Son mesaj : 12 Oca 2011, 00:20
Forum Kullanım ve Gizlilik Kuralları