moduler aritmetik

1)1³+12³+23³...+1101³ toplaminin11 ile boluminden kalan kactir?
2x
2)14 +5x=y²-2 denkleminin pozitif tam sayilar kumesinde kac tane (x,y) cozumu vardir?
3)1984ten 2013e kadar olan dogal sayilar arka arkaya yazildiginda olusan sayinin 9 ile bolumunden kalan kactir?(2013 dahil)

1) Farkedilirse sayılar 1,12,23...1101 hepsi 11'e bölününce 1 kalanını veriyor. öyleyse küpleri de 1 kalanını verir. 101 terim olduğundan 101≡2(mod 11)

3) 1984'ten 2013'e kadar olan sayıların 9'a bölümünden kalanları toplasak da olur.
1984 9'a bölündüğünde 4 kalanını , 2013 ise 6 kalanını verdiği için
4+5+6+7+8+0+(1+2+...+8+0)+(1+2+...+8+0)+....+(1+2+....+8+0)+1+2+3+4+5+6
(1+2+...+8+0) 9'a bölündüğünden atabiliriz.
4+5+6+7+8+0+1+2+3+4+5+6=51=6(mod9)

2)
14+5x=y²-2
5x=y²-16
burada sol taraf 5 e bölünüyor o halde y=5k+1 yada y=5k-1 formunda olmalı yerine yazın ayrı ayrı bunları

1. sinden;
5x=25k²+10k+1-16
x=5k²+2k-3 buradan sonsuz çözüm takımı (x,y)=(5k²+2k-3 , 5k+1)

2.sinden;
5x=25k²-10k+1-16
x=5k²-2k-3 buradan sonsuz çözüm takımı (x,y)=(5k²-2k-3 , 5k-1)

aslında şunuda görebilirsiniz y yerine yazılan sayının karesi alınınca birler basamağı 1 yada 6 oluyorsa çöüm vardır