Modüler Aritmetik

1) 5-x ≡ 1 (Mod 7)
denklemini sağlayan en küçük farklı iki pozitif tamsayının toplamı kaçtır?

2) 2x-3 ≡ 3 (Mod 5)
denklemini sağlayan en büyük farklı iki negatif tamsayının toplamı kaçtır?

3) 7¹⁷ sayısının 100' e bölümünden kalan kaçtır?

1)
5-x ≡ 1 (Mod 7)
5≡1+x (mod7)
4≡x (mod7) ise x=4 ve x=4+7=11 sayıları bu şartı saylayan en küçük pozitif tam sayılardır o halde toplam 4+11=15 olur

2)
2x-3 ≡ 3 (Mod 5)
2x≡6 (mod5)
x≡3 (mod5) ise ( 3-5) ve (3-10) sayıları bu şartı sağlayan farklı en büyük negatif sayılardır
o halde toplam -2-7=-9 olur

3) 7¹⁷≡x (mod100) şeklinde düşünelim
7¹≡7
7²≡49
7³≡343
7⁴≡2401 ≡1 (mod100) olduğunu görelim

7¹⁷=
(7⁴)⁴.7 yazalım
1⁴.7=7 olduğundan

7¹⁷≡7 (mod100) olur cevap 7 dir

Çok teşekkürler hocam

Hocam bu tip sorularda bir de x değeri kesirli çıkanlar var. Onlarda nasıl işlem yapacağız? Örnek soru aşağıdaki gibi.

3x-1 ≡ x+2 (Mod 5) denklemini sağlayan en küçük iki basamaklı iki farklı pozitif tamsayının toplamı kaçtır?

İşlemlerin tamamı 5 modülünde yapılacaktır. Eşit işaretleri denkliği ifade eder.

3x-1 = x+2
3x-1+1 = x+2+1
3x = x+3
3x-x = x+3-x
2x = 3

x=14 ve x=19 olmalıdır. Toplamları 33 eder.

Hocam affınıza sığınarak 2x=3' den sonrasını anlamadığımı belirtmek istiyorum. Yani x=14 ve x=19' u nasıl bulabildik; mantığı kavrayamadım.

Şimdi denklik diyor ki, x öyle bir sayı olsun ki 2 katının 5 ile bölümü 3 kalanını versin. Soruda da bu şartı şağlayan iki basamaklı en küçük iki sayı isteniyor. Bu şartı sağlayan en küçük iki sayı 14 ve 19'dur. Bu bölüm kafanı karıştırıyorsa, yani, "onları nasıl buluyoruz, vahiy mi iniyor" diyorsan, sayılar teorisi her zaman biraz deneme yanılma yöntemi gerektirir.

Bilemiyorum açıklayıcı oldu mu...

Anladım hocam çok teşekkürler

Bu arada şunu da belirteyim, önceki mesajında kesirli çıkan yazmışsın, modüler aritmetikte kesir olmaz. Modüler aritmetik doğal sayılar (sonradan tam sayılara da genişledi) kümesinde tanımlıdır.

Bir de şunu sorayım sana, öyle düşün: (a/b) bir irrasyonel sayı olmamak üzere, a'nın b ile bölümünden rasyonel (kesirli) bir kalan oluşabilir mi?

a/b rasyonel bir sayı ise a' nın b ile bölümünden kesirli bir sayı oluşabilir. Örneğin a=2 b=3 ise a/b = 2/3 eder aynı zamanda bu a' nın b' ye bölümüdür ve de kesirlidir. Doğru mu?

.9. sınıf Modüler Aritmetik Soruları
Tüm Etiketler