1. #1

    Statü
    Grubu
    Üye
    İş
    11. sınıf

    Sponsorlu Bağlantılar

    Modüler Aritmetik

    x iki basamaklı, y üç basamaklı doğal sayılardır.
    19^x=2 (mod 7)
    27^y=3 (mod 11)
    olduğuna göre, x + y en az kaçtır?
    Cevap:112

  2. #2

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    11. sınıf

    Sponsorlu Bağlantılar

    19≡5(mod7)
    27≡5(mod11)
    5, 7 ve 11 aralarında asaldır. Fermat'ın Küçük Teoreminden;
    56≡1(mod7)
    510≡1(mod11)
    O halde x=6k+l, y=10m+n şeklinde olmalı.
    5¹≡5(mod7)
    5²≡4(mod7)
    5³≡6(mod7)
    5⁴≡2(mod7) olduğundan x=6k+4 diyebiliriz.
    5¹≡5(mod11)
    5²≡3(mod11) olduğundan y=10m+2 diyebiliriz. x iki basamaklı olacaksa k=1 alabiliriz, x=10 olur. y üç basamaklı olacaksa m=10 alırız, y=102 olur.
    Toplamları en az 112'dir.
    İyi günler.
    Bilgi ve ego ters orantılıdır, bilgi arttıkça ego azalır. (Albert Einstein)

  3. #3

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer

    Sponsorlu Bağlantılar

    bu çözüm bu sorunun özelinde doğru olabilir ama değişik sayılar için yanlış sonuçlar verebilir.
    atıyorum herşey aynı olsaydı da 19^x=2 (mod 7) yerine 17x≡9 (mod13) denilseydi sıkıntı yaşayabilirdik.

    Fermat Teoremini kullanırken aklımızın bi köşesinde bulunsun diye belirtmek istedim. teorem ilk defa 1 in ap-1 de oluştuğunu söylemiyor. (p-1) in herhangi bir çarpanında da 1 oluşabilir.

  4. #4

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    11. sınıf
    Uyarılarınız için teşekkürler @gereksizyorumcu. Soruda kullanmayacağımız için o kısımları atlamıştım, not olarak durması iyi oldu.
    İyi günler.
    Bilgi ve ego ters orantılıdır, bilgi arttıkça ego azalır. (Albert Einstein)

  5. #5

    Statü
    Grubu
    Üye
    İş
    Üniversite
    bu çözüm bu sorunun özelinde doğru olabilir ama değişik sayılar için yanlış sonuçlar verebilir.
    atıyorum herşey aynı olsaydı da 19^x=2 (mod 7) yerine 17x≡9 (mod13) denilseydi sıkıntı yaşayabilirdik.

    Fermat Teoremini kullanırken aklımızın bi köşesinde bulunsun diye belirtmek istedim. teorem ilk defa 1 in ap-1 de oluştuğunu söylemiyor. (p-1) in herhangi bir çarpanında da 1 oluşabilir.
    Selamlar.
    Fermat'ın küçük teoremine göre 33≡1(mod4) denkliğinin sağlanması gerekmiyor mu?
    Fakat 27, 4 tabanında 3'e denk Aydınlatır mısınız?

  6. #6

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer
    Selamlar.
    Fermat'ın küçük teoremine göre 33≡1(mod4) denkliğinin sağlanması gerekmiyor mu?
    Fakat 27, 4 tabanında 3'e denk Aydınlatır mısınız?
    4 asal değil. fermat asal modlar için söylemiş.
    4 gibi sayılarda da bu teoremin genel hali var euler teoremi.

    a ve n aralarında asal sayılarken aphi(n)≡1 (mod n)
    burada phi(n) n den küçük ve n ile aralarında asal sayıların sayısı. phi(4)=2 ( p asalken phi(p)=p-1)

  7. #7

    Statü
    Grubu
    Üye
    İş
    Üniversite
    4 asal değil. fermat asal modlar için söylemiş.
    4 gibi sayılarda da bu teoremin genel hali var euler teoremi.

    a ve n aralarında asal sayılarken aphi(n)≡1 (mod n)
    burada phi(n) n den küçük ve n ile aralarında asal sayıların sayısı. phi(4)=2 ( p asalken phi(p)=p-1)
    Teşekkür ederim


 

  • Bu yazıyı beğenerek
    destek
    verebilirsiniz

    Foruma üye olmana gerek yok! Facebook hesabınla yorumlarını bekliyoruz!
  • Benzer konular

    1. modüler aritmetik
      selosamur, bu konuyu "9. sınıf matematik soruları" forumunda açtı.
      : 5
      : 18 Şub 2014, 19:44
    2. modüler aritmetik
      kardelencicegi, bu konuyu "9. sınıf matematik soruları" forumunda açtı.
      : 3
      : 17 Eyl 2013, 19:47
    3. Modüler Aritmetik
      QuadrantShadow, bu konuyu "12. sınıf matematik soruları" forumunda açtı.
      : 3
      : 15 Eyl 2013, 14:05
    4. modüler aritmetik
      stefani, bu konuyu "KPSS Matematik" forumunda açtı.
      : 2
      : 09 Eyl 2013, 19:35
    5. modüler aritmetik
      cesur, bu konuyu "Kpss matematik soruları" forumunda açtı.
      : 3
      : 30 Kas 2011, 17:29
    Forum Kullanım ve Gizlilik Kuralları