bozturk468 22:29 18 May 2012 #1 1) x üç basamaklı pozitif tamsayıdır.
(2005)x≡ 5 (mod 7)
olduğuna göre x in en küçük değeri kaçtır?
2) 96x≡ 5 (mod 7) denkliğini sağlayan en büyük iki basamaklı doğal sayı kaçtır?
3) k ∈ N olmak üzere
(2005)x≡ 5 (mod 7)
olduğuna göre x in en küçük değeri kaçtır?
2) 96x≡ 5 (mod 7) denkliğini sağlayan en büyük iki basamaklı doğal sayı kaçtır?
3) k ∈ N olmak üzere
27!
9!
+ 103k+5 ifadesinin 16 ile bölümünden kalan kaçtır?
4) Z/5'te
x²+4
x+4
ifadesinin sadeleşmiş biçimini bulunuz.
1)
2005=7k+3
(7k+3)2=2(mod7)
(7k+3)3=6(mod7)
(7k+3)4=4(mod7)
(7k+3)5=5(mod7)
(7k+3)6=1(mod7) ise;
x=6m+5 yani x; 6'nın katından 5 fazla olan bir sayıdır. Üç basamaklı olma şartı verildiği için en küçük değeri m=16 için; 101 olur.
2)
96=7k+5=5(mod7)
(7k+5)2=4(mod7)
(7k+5)3=6(mod7)
(7k+5)4=2(mod7)
(7k+5)5=3(mod7)
(7k+5)6=1(mod7) demek ki 6'da bir 1'e devrediyor.
Bu durumda x=6m+1 olmalı. En büyük iki basamaklı şartı için x'i bulursak;
x=6m+1(m=16) için;
x=16.6+1
x=97 olur.
3)
(27!/9!)+103k+5 ifadesinde;
27!/9! ifadesinin 16 ile bölündüğünü görebiliyoruz.(27! içinde 16 sayısının kendisi bile mevcuttur. 9! bölünmesi 16 çarpanına etki bile etmez.)
103k+5 ifadesinin 16 ile bölümünü inceleyelim;
10=10(mod16)
102=4(mod16)
103=8(mod16)
104=0(mod16) devamında da bölünebildiğini görüyoruz.
Bu durumda ifademizin 16 ile bölümünden kalan 0'dır.
2005=7k+3
(7k+3)2=2(mod7)
(7k+3)3=6(mod7)
(7k+3)4=4(mod7)
(7k+3)5=5(mod7)
(7k+3)6=1(mod7) ise;
x=6m+5 yani x; 6'nın katından 5 fazla olan bir sayıdır. Üç basamaklı olma şartı verildiği için en küçük değeri m=16 için; 101 olur.
2)
96=7k+5=5(mod7)
(7k+5)2=4(mod7)
(7k+5)3=6(mod7)
(7k+5)4=2(mod7)
(7k+5)5=3(mod7)
(7k+5)6=1(mod7) demek ki 6'da bir 1'e devrediyor.
Bu durumda x=6m+1 olmalı. En büyük iki basamaklı şartı için x'i bulursak;
x=6m+1(m=16) için;
x=16.6+1
x=97 olur.
3)
(27!/9!)+103k+5 ifadesinde;
27!/9! ifadesinin 16 ile bölündüğünü görebiliyoruz.(27! içinde 16 sayısının kendisi bile mevcuttur. 9! bölünmesi 16 çarpanına etki bile etmez.)
103k+5 ifadesinin 16 ile bölümünü inceleyelim;
10=10(mod16)
102=4(mod16)
103=8(mod16)
104=0(mod16) devamında da bölünebildiğini görüyoruz.
Bu durumda ifademizin 16 ile bölümünden kalan 0'dır.
C.2
96≡5 (mod 7)
96x≡5x (mod 7)
5x≡5 (mod 7)
Uzatmayalım, fermat teoremi gereği 56≡1 (mod 7) olduğundan beşin 6. kuvvetinde 1'i bulacağız ve 5¹≡5 (mod 7) olduğundan x'in 6 ile bölümünden kalan 1 olmalı. Bunu sağlayan en büyük iki basamaklı doğal sayı da 96+1=97 olur.
C.3
27!=27.26.25......16.15......3.2.1
9!=9.8.7.6.5.4.3.2.1 olduğundan;
27!/9!=27.26.25......16.15.14.13.12.11.10 olur. Görüldüğü gib sayının içinde hem 1 adet 16 çarpanı hem de bolca 2 ve birkaç tane de 8 çarpanı olduğundan sayı 16'ya tam bölünür. Yani; 27!/9!≡0 (mod 16)'dir.
Şimdi 103k+5'e bakalım.
10⁴=(2.5)⁴=2⁴.5⁴=16.5⁴'dir. O halde 10⁴≡0 (mod 16) olur. Ve;
103k+5=103k+1.104 olur. O halde;
103k+1.0≡0 (mod 16) olur.
Soruda ise 27!/9!+103k+5'in 16 ile bölümünden kalanı, yani mod 16'daki dengi sorulmuş ki bu da 0.0=0 olur.
C.4
Z-5'te 4≡-1 olduğundan ifademiz;
96≡5 (mod 7)
96x≡5x (mod 7)
5x≡5 (mod 7)
Uzatmayalım, fermat teoremi gereği 56≡1 (mod 7) olduğundan beşin 6. kuvvetinde 1'i bulacağız ve 5¹≡5 (mod 7) olduğundan x'in 6 ile bölümünden kalan 1 olmalı. Bunu sağlayan en büyük iki basamaklı doğal sayı da 96+1=97 olur.
C.3
27!=27.26.25......16.15......3.2.1
9!=9.8.7.6.5.4.3.2.1 olduğundan;
27!/9!=27.26.25......16.15.14.13.12.11.10 olur. Görüldüğü gib sayının içinde hem 1 adet 16 çarpanı hem de bolca 2 ve birkaç tane de 8 çarpanı olduğundan sayı 16'ya tam bölünür. Yani; 27!/9!≡0 (mod 16)'dir.
Şimdi 103k+5'e bakalım.
10⁴=(2.5)⁴=2⁴.5⁴=16.5⁴'dir. O halde 10⁴≡0 (mod 16) olur. Ve;
103k+5=103k+1.104 olur. O halde;
103k+1.0≡0 (mod 16) olur.
Soruda ise 27!/9!+103k+5'in 16 ile bölümünden kalanı, yani mod 16'daki dengi sorulmuş ki bu da 0.0=0 olur.
C.4
Z-5'te 4≡-1 olduğundan ifademiz;
x²-1
x-1
şeklinde olur. Ve iki kare farkından;
(x-1)(x+1)
(x-1)
=
olur.
Görmedim çözümü pardon .
bozturk468 23:56 18 May 2012 #6
Çok teşekkür ederim 
gereksizyorumcu 00:36 19 May 2012 #8
frk 1. soruda x in 5k şeklinde olması yorumun doğru değil malesef. x 6 ya bölününce 5 kalanı veren bi sayı olmalı çünkü ilk defa 3^6 7 modunda 1 oluyor.
frk 1. soruda x in 5k şeklinde olması yorumun doğru değil malesef. x 6 ya bölününce 5 kalanı veren bi sayı olmalı çünkü ilk defa 3^6 7 modunda 1 oluyor.
gereksizyorumcu 00:50 19 May 2012 #10
zaten 2. soruda benzer bi durum varken onu doğru yapmışsın, dalgınlığına gelmiş, olur böyle şeyler
bu arada yeri değil belki ama 2. soruda kullandığın Fermat Teoremi genelde yardımcı olsa da seni çok kolay yanıltabilir (2. soruda kullandığın şekilde kullanırsan)
örneğin herşey aynı sadece 7 yerine 13 olsa cevap ne olurdu?
bu arada yeri değil belki ama 2. soruda kullandığın Fermat Teoremi genelde yardımcı olsa da seni çok kolay yanıltabilir (2. soruda kullandığın şekilde kullanırsan)
örneğin herşey aynı sadece 7 yerine 13 olsa cevap ne olurdu?
Diğer çözümlü sorular alttadır.