1) (n,n)+(n+1,n)+(n+2,n)+(n+3,n)+........+(n+k,n)=(n+k+1,k)
eşitliğinin doğruluğunu gösteriniz
2) 7(n,1)+49(n,2)+......+7n(n,n)=233-1 ise n=?
3) 2n(n,0)-2n-1(n,1)+2n-2(n,2)+......+(n,n)-1=0 olduğunu
gösteriniz.
lütfen yardım edin şimdiden teşekkürler
1) Tümevarım gördünüz mü?
diğer sorular için binom açılımını hatırlayın: (x+y)n=C(n,0)xn+C(n,1)xn-1y+C(n,2)xn-2y2+...+C(n,n)yn
2) Binom açılımında x=1, y=7 için
8n=C(n,0)+C(n,1)7+C(n,2)72+...+C(n,n)7n = 1 + 7C(n,1)+49C(n,2)+...+7n C(n,n) = 1 + 233-1 = 233
buradan da n=11 bulursunuz.
3) Burada sondan bir önceki terim C(n,n) yerine (-1)nC(n,n) olmalıdır.
Binom açılımında x=2, y=-1 için
1n=C(n,0)2n-C(n,1)2n-1+C(n,2)2n-2+...+C(n,n)(-1)n
ve buradan da sol taraftaki 1'i sağ tarafa atınca
2nC(n,0)-2n-1C(n,1)+2n-2C(n,2)+...+(-1)nC(n,n) -1 = 0
elde edilir.
evet tümeravımı biliyorum 1. soruyuda açıklarmısınız teşekkür ederim
Pascal özdeşliğini hatırlayın: C(n, r)+C(n, r+1)=C(n+1, r+1)
Sabit bir n sayısı için k üzerinden tümevarım yapalım: Her ne kadar k için alt değer verilmemişse de k≥0 veya k≥1 kabul edilebilir:
k=0 için sol taraf C(n,n)=1 dir. Sağ taraf C(n+0+1,0)=C(n+1, 1).
Alt sınır k=1 olsaydı:
k=1 için sol taraf C(n,n)+C(n+1,n)=1+C(n+1,n)=C(n+1,n+1)+C(n+1,n)=C(n+2,n+1)=C(n+2,1) ki bu da k=1 için sağ taraftır. Sondan bir önceki eşitlikte Pascal özdeşliğini kullandık.
Şimdi istenen eşitliğin k=m için doğru olduğunu kabul edelim ve k=m+1 için bakalım:
k=m+1 için sol taraf:
C(n,n)+C(n+1,n)+...+C(n+m,n)+C(n+m+1, n) = C(n+m+1, m)+C(n+m+1, m+1)=C(n+m+2, m+1) ki bu da k=m+1 için sağ taraftır.
teşekkürler
