binom açılımı

1) (n,n)+(n+1,n)+(n+2,n)+(n+3,n)+........+(n+k,n)=(n+k+1,k)

eşitliğinin doğruluğunu gösteriniz

2) 7(n,1)+49(n,2)+......+7ⁿ(n,n)=2³³-1 ise n=?

3) 2ⁿ(n,0)-2^n-1(n,1)+2^n-2(n,2)+......+(n,n)-1=0 olduğunu

gösteriniz.

lütfen yardım edin şimdiden teşekkürler

1) Tümevarım gördünüz mü?

diğer sorular için binom açılımını hatırlayın: (x+y)ⁿ=C(n,0)xⁿ+C(n,1)x^n-1y+C(n,2)x^n-2y²+...+C(n,n)yⁿ

2) Binom açılımında x=1, y=7 için

8ⁿ=C(n,0)+C(n,1)7+C(n,2)7²+...+C(n,n)7ⁿ = 1 + 7C(n,1)+49C(n,2)+...+7ⁿ C(n,n) = 1 + 2³³-1 = 2³³

buradan da n=11 bulursunuz.


3) Burada sondan bir önceki terim C(n,n) yerine (-1)ⁿC(n,n) olmalıdır.

Binom açılımında x=2, y=-1 için

1ⁿ=C(n,0)2ⁿ-C(n,1)2^n-1+C(n,2)2^n-2+...+C(n,n)(-1)ⁿ

ve buradan da sol taraftaki 1'i sağ tarafa atınca

2ⁿC(n,0)-2^n-1C(n,1)+2^n-2C(n,2)+...+(-1)ⁿC(n,n) -1 = 0

elde edilir.

evet tümeravımı biliyorum 1. soruyuda açıklarmısınız teşekkür ederim

Pascal özdeşliğini hatırlayın: C(n, r)+C(n, r+1)=C(n+1, r+1)

Sabit bir n sayısı için k üzerinden tümevarım yapalım: Her ne kadar k için alt değer verilmemişse de k≥0 veya k≥1 kabul edilebilir:

k=0 için sol taraf C(n,n)=1 dir. Sağ taraf C(n+0+1,0)=C(n+1, 1).
Alt sınır k=1 olsaydı:
k=1 için sol taraf C(n,n)+C(n+1,n)=1+C(n+1,n)=C(n+1,n+1)+C(n+1,n)=C(n+2,n+1)=C(n+2,1) ki bu da k=1 için sağ taraftır. Sondan bir önceki eşitlikte Pascal özdeşliğini kullandık.

Şimdi istenen eşitliğin k=m için doğru olduğunu kabul edelim ve k=m+1 için bakalım:

k=m+1 için sol taraf:

C(n,n)+C(n+1,n)+...+C(n+m,n)+C(n+m+1, n) = C(n+m+1, m)+C(n+m+1, m+1)=C(n+m+2, m+1) ki bu da k=m+1 için sağ taraftır.

teşekkürler