[duygu95]

Cauchy-Schwartz eşitsizliği hakkında bilgi almak istiyorum. Yardımcı olacak var mı ?

[Cem1971]

x₁, x₂, ...., x_n
y₁, y₂, ...., y_n reel sayı olmak üzere,

(x₁y₁+x₂y₂+....+x_ny_n)² ≤ (x₁²+x₂²+....+x_n²) . (y₁²+y₂²+....+y_n²) eşitsizliğine Cauchy-Schwarz eşitsizliği denir.

Eşitsizlikteki eşitlik ancak, k orantı sabiti olmak üzere, x₁=ky₁ , ...., x_n=ky_n iken mümkündür.

[duygu95]

Hocam bu Cauchy-Schwartz eşitsizliğini x+y+z=5 ve x^2+y^2+z^2=5 bu denklemlerde sorulan mesela x'in en büyük , en küçük değerini bulabilir miyiz bu soruda sayıları uydurdum. bu tarz sorular için mi kullanılır. ya da hangi tarz sorular için kullanılır. açıklayabilir misiniz ?

[gereksizyorumcu]

evet sayilari uydurdugun belli oluyor.
X vektoru (x,y,z) iken Y vektorunu (1,1,1) alsak
iccarpim tarafi x+y+z=5 in karesi 25 oluyor
vektorlerin uzunluklari tarafi ise 5.3=15 oluyor
kisaca reel sayilarda boyle x y z bulunamaz.
sayilardan en az biri complextir.

not. cauchy complex sayilarda da gecerlidir sadece yazimi vektorun uzunlugunu dogru ifade edebilecek sekilde olur. bulabilirsem CS kullanilarak cozulen bikac soruyu aksam yazmaya calisirim

[Cem1971]

Mâdem mevzû açtın... Meselâ bir üniversitenin Analiz kitabından bir soru:


Çözümünü şöyle yapabiliriz:



Başka:

Bu resimdeki soruyu şöyle değiştirelim:
x, y, z birbirinden farklı pozitif tamsayılar ve 5x+4y+3z=201 olduğuna göre, x²+y²+z² toplamının alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır?

Çözümü sana bırakıyorum Duygu... Meraklılığını gider bakalım.

[duygu95]

Çok teşekkür ederim..
Hocam bişeyler buldum ama doğru mu bilmiyorum

x, y, z birbirinden farklı pozitif tamsayılar ve 5x+4y+3z=201 olduğuna göre, x²+y²+z²toplamının alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır?

|5x+4y+3z|²≤(5²+4²+3²).(x²+y²+z²)


|5x+4y+3z|≤√5²+4²+3².√x²+y²+z²

210≤√50.√x²+y²+z²

40401/50≤x²+y²+z² böyle birşey buldum. Sayı biraz tuhaf çıktı yanlış mı yaptım ?

[gereksizyorumcu]

(IMO 1981/1) Herhangi bir ABC üçgeninin içindeki bir P noktasından BC , CA ve AB ye inilen dikmelerin ayakları sırasıyla D,E ve F olsun. (BC/PD)+(CA/PE)+(AB/PF) toplamını minimum yapan tüm P noktalarını belirleyiniz.

[Cem1971]

x, y, z birbirinden farklı pozitif tamsayılar ve 5x+4y+3z=201 olduğuna göre, x²+y²+z²toplamının alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır?

|5x+4y+3z|²≤(5²+4²+3²).(x²+y²+z²)


|5x+4y+3z|≤√5²+4²+3².√x²+y²+z²

210≤√50.√x²+y²+z²

40401/50≤x²+y²+z² böyle birşey buldum. Sayı biraz tuhaf çıktı yanlış mı yaptım ?

Yoo doğrudur. 201²/50=808,02≤ x²+y²+z² ---> Demek ki min=809 olur.

[duygu95]

(IMO 1981/1) Herhangi bir ABC üçgeninin içindeki bir P noktasından BC , CA ve AB ye inilen dikmelerin ayakları sırasıyla D,E ve F olsun. (BC/PD)+(CA/PE)+(AB/PF) toplamını minimum yapan tüm P noktalarını belirleyiniz.

Bu soruyu nasıl çözeriz hocam ?

[gereksizyorumcu]

Yoo doğrudur. 201²/50=808,02≤ x²+y²+z² ---> Demek ki min=809 olur.

Hocam soruda x,y,z için pozitif tamsayılar denildiğinden daha keskin bi inceleme yapılması gerekmez mi? 809 değerini alabileceğini sanmıyorum. hatta bi kağıt kalem elime alayım bakalım bişeyler bulabilecek miyim

Bu soruyu nasıl çözeriz hocam ?

Konunun altına yazılmış , demek ki Cauchy-Schwarz ile çözülebiliyor. Olimpiyatın 1. sorusu olduğuna göre de fazla zor olmasa gerek.