1. #1

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Üniversite

    Sponsorlu Bağlantılar

    Cauchy-Schwarz Eşitsizliği (Kaşi Şvorz)

    Cauchy-Schwartz eşitsizliği hakkında bilgi almak istiyorum. Yardımcı olacak var mı ?

  2. #2

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Matematik Öğretmeni

    Sponsorlu Bağlantılar

    x1, x2, ...., xn
    y1, y2, ...., yn reel sayı olmak üzere,

    (x1y1+x2y2+....+xnyn)2 ≤ (x12+x22+....+xn2) . (y12+y22+....+yn2) eşitsizliğine Cauchy-Schwarz eşitsizliği denir.

    Eşitsizlikteki eşitlik ancak, k orantı sabiti olmak üzere, x1=ky1 , ...., xn=kyn iken mümkündür.

  3. #3

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Üniversite

    Sponsorlu Bağlantılar

    Hocam bu Cauchy-Schwartz eşitsizliğini x+y+z=5 ve x^2+y^2+z^2=5 bu denklemlerde sorulan mesela x'in en büyük , en küçük değerini bulabilir miyiz bu soruda sayıları uydurdum. bu tarz sorular için mi kullanılır. ya da hangi tarz sorular için kullanılır. açıklayabilir misiniz ?

  4. #4

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer
    evet sayilari uydurdugun belli oluyor.
    X vektoru (x,y,z) iken Y vektorunu (1,1,1) alsak
    iccarpim tarafi x+y+z=5 in karesi 25 oluyor
    vektorlerin uzunluklari tarafi ise 5.3=15 oluyor
    kisaca reel sayilarda boyle x y z bulunamaz.
    sayilardan en az biri complextir.

    not. cauchy complex sayilarda da gecerlidir sadece yazimi vektorun uzunlugunu dogru ifade edebilecek sekilde olur. bulabilirsem CS kullanilarak cozulen bikac soruyu aksam yazmaya calisirim

  5. #5

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Matematik Öğretmeni
    Mâdem mevzû açtın... Meselâ bir üniversitenin Analiz kitabından bir soru:


    Çözümünü şöyle yapabiliriz:



    Başka:

    Bu resimdeki soruyu şöyle değiştirelim:
    x, y, z birbirinden farklı pozitif tamsayılar ve 5x+4y+3z=201 olduğuna göre, x2+y2+z2 toplamının alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır?


    Çözümü sana bırakıyorum Duygu... Meraklılığını gider bakalım.

  6. #6

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Üniversite
    Çok teşekkür ederim..
    Hocam bişeyler buldum ama doğru mu bilmiyorum

    x, y, z birbirinden farklı pozitif tamsayılar ve 5x+4y+3z=201 olduğuna göre, x²+y²+z²toplamının alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır?

    |5x+4y+3z|²≤(5²+4²+3²).(x²+y²+z²)


    |5x+4y+3z|≤√5²+4²+3².√x²+y²+z²

    210≤√50.√x²+y²+z²

    40401/50≤x²+y²+z² böyle birşey buldum. Sayı biraz tuhaf çıktı yanlış mı yaptım ?

  7. #7

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer
    (IMO 1981/1) Herhangi bir ABC üçgeninin içindeki bir P noktasından BC , CA ve AB ye inilen dikmelerin ayakları sırasıyla D,E ve F olsun. (BC/PD)+(CA/PE)+(AB/PF) toplamını minimum yapan tüm P noktalarını belirleyiniz.

  8. #8

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Matematik Öğretmeni
    x, y, z birbirinden farklı pozitif tamsayılar ve 5x+4y+3z=201 olduğuna göre, x²+y²+z²toplamının alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır?

    |5x+4y+3z|²≤(5²+4²+3²).(x²+y²+z²)


    |5x+4y+3z|≤√5²+4²+3².√x²+y²+z²

    210≤√50.√x²+y²+z²

    40401/50≤x²+y²+z² böyle birşey buldum. Sayı biraz tuhaf çıktı yanlış mı yaptım ?
    Yoo doğrudur. 2012/50=808,02≤ x2+y2+z2 ---> Demek ki min=809 olur.

  9. #9

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Üniversite
    (IMO 1981/1) Herhangi bir ABC üçgeninin içindeki bir P noktasından BC , CA ve AB ye inilen dikmelerin ayakları sırasıyla D,E ve F olsun. (BC/PD)+(CA/PE)+(AB/PF) toplamını minimum yapan tüm P noktalarını belirleyiniz.
    Bu soruyu nasıl çözeriz hocam ?

  10. #10

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer
    Yoo doğrudur. 2012/50=808,02≤ x2+y2+z2 ---> Demek ki min=809 olur.
    Hocam soruda x,y,z için pozitif tamsayılar denildiğinden daha keskin bi inceleme yapılması gerekmez mi? 809 değerini alabileceğini sanmıyorum. hatta bi kağıt kalem elime alayım bakalım bişeyler bulabilecek miyim

    Bu soruyu nasıl çözeriz hocam ?
    Konunun altına yazılmış , demek ki Cauchy-Schwarz ile çözülebiliyor. Olimpiyatın 1. sorusu olduğuna göre de fazla zor olmasa gerek.


 
1 2 3

  • Bu yazıyı beğenerek
    destek
    verebilirsiniz

    Foruma üye olmana gerek yok! Facebook hesabınla yorumlarını bekliyoruz!
  • Benzer konular

    1. üçgen eşitsizliği ispatı yardım lütfen
      melek81, bu konuyu "Ygs & Lys Matematik" forumunda açtı.
      : 6
      : 21 Eki 2015, 21:08
    2. Komplex sayılarda cauchy schwarz eşitsizliği nasıl ispatlanır
      ALTINBAŞAK, bu konuyu "Özel matematik soruları" forumunda açtı.
      : 5
      : 30 Mar 2013, 20:31
    3. Mutlak değer eşitsizliği
      nazlı2006, bu konuyu "12. sınıf matematik soruları" forumunda açtı.
      : 2
      : 20 Mar 2011, 01:28
    Forum Kullanım ve Gizlilik Kuralları