[3.141592653589]

ln e=1

e^(x*pi)=-1
ise x=?
(cevap: i)

[gereksizyorumcu]

i sayısının x e göre bir sabit olmasından hareketle
(cosx-isinx)e^ix ifadesinin x e göre türevini alalım

=(cosx-isinx)'.e^ix+(cosx-isinx).(e^ix)'
=(-sinx-icosx).e^ix+(cosx-isinx).i.e^ix
=e^ix.(-sinx-icosx+icosx-i²sinx)
=e^ix.(-sinx-icosx+icosx+sinx)
=0

bu ifadenin türevi sıfırmış yani sabit fonksiyonmuş yani her x değeri için aynı değeri alıyormuş
x=0 için değeri 1 olduğuna göre
(cosx-isinx)e^ix=1 her zaman sağlanmalıdır.

eşitliği (cosx-isinx)'in eşleniği olan (cosx+isinx) ile çarparsak
(cos²x-i²sin²x)e^ix=cosx+isinx
(cos²x+sin²x)e^ix=cosx+isinx , her x için (cos²x+sin²x)=1 olduğundan
e^ix=cosx+isinx=cisx olur.

konuya buradan (euler formülü ve de moivre formülü ispatı ?) ulaşılabilir
e^x∏=-1=cis∏=e^i∏ → x=i