euler formülü ve de moivre formülünün ispatlarını istiyorum
euler formülü ve de moivre formülünün ispatlarını istiyorum
bunun mu?
yoksa
bunu mu ispatı?
İlki özdeşliği ikincisi formülü diye geçerde.
Aslında sormak istediği eiπ+1=0 ise Hocamızın verdiği formülden bu özdeşliğe ulaşabiliriz.
ise
olur.
Aslında bu formül muazzam bi formüldür.Pozitif bir sayının üssünü -1 e eşitleyen bir formüldür.Bu nasıl olur diye düşünmemeliyiz.Çünkü reel eksende işlem yapmıyoruz burada.
Aynı şekilde ln(-1)=iπ olur. Burdada tanımlı olamaz diyemeyiz.
de moivre için ise şöyle bir şey buldum,
euler formülünden,
(de moivre formülü)
i sayısının x e göre bir sabit olmasından hareketle
(cosx-isinx)eix ifadesinin x e göre türevini alalım
=(cosx-isinx)'.eix+(cosx-isinx).(eix)'
=(-sinx-icosx).eix+(cosx-isinx).i.eix
=eix.(-sinx-icosx+icosx-i²sinx)
=eix.(-sinx-icosx+icosx+sinx)
=0
bu ifadenin türevi sıfırmış yani sabit fonksiyonmuş yani her x değeri için aynı değeri alıyormuş
x=0 için değeri 1 olduğuna göre
(cosx-isinx)eix=1 her zaman sağlanmalıdır.
eşitliği (cosx-isinx)'in eşleniği olan (cosx+isinx) ile çarparsak
(cos²x-i²sin²x)eix=cosx+isinx
(cos²x+sin²x)eix=cosx+isinx , her x için (cos²x+sin²x)=1 olduğundan
eix=cosx+isinx=cisx olur.
konu için biraz geç olduğunun farkındayım ama yeni bir başlık açmayayım dedim
ex = x⁰/0!+x¹/1!+x²/2!+x³/3!... + xn/n! + .. olduğunu e sayısının tanımından biliyoruz
eğer cos ve sin fonksiyonlarının taylor seri açılımınlarını alırsanız
cosx=1-x²/2!+x⁴/4!..=(-1)n 2n/(2n)!+++
sinx =x-x³/3!+..+(-1)n x2n+1/(2n+1)!+...
ve
in = için
n = 4k = 1
n = 4k+1 = i
n= 4k+2 =-1
n = 4k+3 = -i oldugunu biliyoruz(k 0,+sonsuza kadar bütün reel sayılar)
o halde
eix yazarsak şu açılımı elde ederiz
eix= 1+ix-x²/2!...
yukarıdaki sinx ve cosx tanımlamalarımızı ele alırsak
eix = 1-x²/2!+x⁴/4!..+(-1)n 2n/(2n)!+.. + i*(x-x³/3!+..+(-1)n x2n+1/(2n+1)!...
olacagını görebiliriz
ki buda
eix = cosx+isinx i getirir.
Foruma üye olmana gerek yok! Facebook hesabınla yorumlarını bekliyoruz!