1. #1

    Statü
    Grubu
    Üye
    İş
    Diğer

    Sponsorlu Bağlantılar

    İspat (yardım)

    aşağıdaki ifade nasıl ispatlanabilir?

    1/n biçimindeki ifadeleri toplayıp 1 e eşitlerken 1/n biçimindeki ifadelerden en az birinin paydası çift olmalıdır.


    not:böyle bir şeyin ispatlanabilir olup olmadığını bilmiyorum.bir konu üzerinde kafa yorarken aklıma takıldı.yardımcı olursanız sevinirim.

  2. #2

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Öğretmen

    Sponsorlu Bağlantılar

    Metin Emiroğlu Anadolu Lisesi.

    Endemik Yayınları

  3. #3

    Statü
    Grubu
    Üye
    İş
    Diğer

    Sponsorlu Bağlantılar

    hıcam şöyle demek istemiştim 1/n sayılardan her biri farklı olacak şekilde alınacak

  4. #4

    Statü
    Grubu
    Üye
    İş
    Diğer
    peki şöyle bir çözüm yapılabilirmi:
    diyelim ki toplamı yazarken 1 tane 1/(2x+1) biçiminde 1 ifade kullandık geri kalan ifadeyi (1/2^1+1/2^2......1/2^k)+(1/(2x+1)(1/2^T1+1/2^T2+.........1/2^Tm)) olarak yazabiliriz
    .bunu birazdan hem örnekle hem de tümevarımla ispatlamaya çalışacağım. öncelikle ifadedeki T1,T2,.......Tm sayıları 2^a<2x+1<2^a+1 şartını sağlayan a ve a+1 sayıları için (0,a)(kapalı aralık) aralığındaki sayılarından bazılarıdır.

    şimdi bazı örnekler üzerinden durumu açıklayayım mesela başlangıçta 1/3 sayısını seçtik geriye 2/3 kaldı bunu da paydadaki ifadede yani 3 sayısı 1 ile 2 yani 2 nin 0. kuvveti ile 2 nin 1.kuvveti arasında kaldığından sayıyı 1/2+1/3(1/2) şeklinde yazabiliriz.
    yani toplam 1/2+1/3+1/6 =1 oldu

    bir örnek daha mesela 1/11 sayısını seçtik az önceki kurala göre 8<11<16 olduğundan öncelikle ifadeye 1/2+1/4+1/8 ekledik sonra da 1/11(1/4+1/8) ekledik yani toplamı şu şekilde yazdık 1/2+1/4+1/8+1/11+1/44+1/88=1 acaba bu durum bütün 2x+1 sayıları için gözlenebilir mi? onu da şu şekilde ispatladım.

    öncelikle ilk örnek doğrultusunda ifadenin x=1 için doğru olduğu açık ifadenin x için doğru olduğunu varsayalım ve x+1 için tümevarımla kanıtlayalım. eğer sayıyı x yerine x+1 alırsak payda 1/2x+3 olur bunu 1/2x+1 e benzetmeye çalışalım iki ifadenin farkını alalım fark 2/(2x+1)(2x+3) olur bu ifade de fibonaccinin bulduklarına göre 1/(p+1)(2p+1)+1/(p+1) biçiminde yazılabilir. not: (2x+1)(2x+3)=2p+1 aldık. devam edelim o halde 1/2x+1=1/2x+3+1/(p+1)(2p+1)+1/(p+1) biçiminde yazılıyo yani ifade x için geçerli iken x+1 için de geçerli çünkü 1/2x+1 e biz uygun ifadelerle örneklerdeki gibi terimleri eklyerek 1 e tamamlıyorsak 1/2x+3 1/2x+1 e benzetilebidiğinden bu ifadede toplam 1 olacak şekilde yazılabilir. o halde biz bir çift sayıların çarpımsal terslerini alarak 1 e ulaşıyorsak aynı şeyi bütün paydaları tek olan sayılarla yapamayız. o halde kanıt bitmiştir.

    NOT: (bütün çözüm bana ait.o yüzden yanlışlık olabilir.incelerseniz sevinirim. bein için çok önemli

  5. #5

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer
    bu soruyu yazdığınızda biraz uğraşmıştım ama bişeyler çıkmamıştı sonra yeniden bakarım demiştim öylece kalmış. anladığımız kadarıyla henüz bi çözüm yok o yüzden uygun bi zamanda tekrar bakalım diyerek sizin yukarıda yazdığınıza bakarsak,

    yaptığınız şey ilk yorumda yazdığınız toplamın paydalar kısmında en az bir çift sayı olmalı sorusunun çözümü değildir. siz içinde en az bi tane tek sayı (bu tek sayı çözümünüze göre 1 hariç istediğiniz tek sayı) olan bir toplamın oluşturulabileceğini ispatlamaya çalışmış oluyorsunuz. biraz daha düzenlenirse yaptığınız şekilde bu gösterilebilir.
    rastgele bir tek sayı seçildiğinde 2 den başlayıp o tek sayıya alttan en yakın 2 nin kuvveti olan 2k ya kadar toplam alınırsa geriye 1/2k kalır
    tek sayının tersini de toplamıştık geriye 1/2k-1/T kaldı
    1/2k-1/T=(T-2k)/(2k.T , burada T-2k<2k
    pay kısmı 2lik tabanda yazılıp her parça paydadaki 2k ile sadeleştirilirse 1 sayısı en az 1 tanesi istediğimiz bir tek sayı olan ve bir kısmı 2 nin kuvveti olan sayıların terslerinin toplamı olarak yazılmış olur.

    not:ilk sorunuzun open problem olma olasılığı oldukça yüksek, uygun bi zamanda googleda iyice bi arama yapmak lazım.

  6. #6

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer
    ... o halde biz bir çift sayıların çarpımsal terslerini alarak 1 e ulaşıyorsak aynı şeyi bütün paydaları tek olan sayılarla yapamayız...
    bunu anlayamadım evet bunu söyleyebiliyorsak işlem tamamlanmış oluyor.
    yani bir rasyonel sayıyı hepsi çift olan sayıların tersleri şeklinde yazmak onu hepsi tek olan sayıların tersi olarak yazmayı engelliyor mu?
    1/2+1/30=1/3+1/5 bunun tersine bi örnek ama galiba yanlış gördüğüm bişeyler var dediğim gibi buna sonra bi kez daha baksam iyi olacak.

  7. #7

    Statü
    Grubu
    Üye
    İş
    Diğer
    hocam galiba ben yaptığım çalışmaları birbirine karıştırmışım .doğrusu şu olacaktı.gerçi bu yazacaklarım ispat değil ama:

    mesela bir örnek üzerinden gideyim :1=1/2+1/4+1/11+1/44+1/88 şimdi bunu yazarken 1/11 i kullandık geriye kalan 10/11 ifadesi için 1/n biçimindeki ifadelerin hepsinin paydası çift.ben şöyle düşünüyorum : bu 10/11 paydası çift olan 1/n biçimindeki ifadelerin toplamı olarak yazılabiliyorsa paydası tek olan 1/n biçimindeki sayıların toplamı olarak yazılamaz.ancak işte tam da bu noktayı ispatlayamıyorum.bu belki de matematikte önceden ispatlanmış bir şeydir.belki de düşüncelerim yanlıştır.yani 1/n biçiminde paydası tek olan sayılar toplanarak 2x/(2x+1) e ulaşılabilir.

    ancak eğer böyle bir şey ispatlanmadıysa bunu yeni bir konjektür olarak görebilirmiyiz.

  8. #8

    Statü
    Grubu
    Üye
    İş
    Diğer
    aklıma yeni bir şey geldi .
    sorunun çözümü için şöyle bir şey yapılabilir mi?
    mesela öncelikle 2x/(2x+1) in 1/n biçimindeki paydası tek olan ifadelerin toplamı olarak gösterilmeyeceği yerine (2x-1)/2x ifadesinin tek sayıların çarpımsal tersleri olarak toplanamıyacağını gösterelim.

    şöyle ki paydası tek olan sayıları toplarsak paydası tek olan bir rasyonel sayı elde edilir.payı hiç önemli değil.mesela bu toplam m/(2p+1) biçiminde bu sayıyı başlangıçta aldığımız (2x-1)/2x e eşitlemeye çalışırsak yani içler dışlar çarpımı yapalım ama yaparsak bir tarafın tek bir tarafın çift olduğu çıkar hiç bir tek sayı da çift sayıya eşit olamayacağından 1/n biçimindeki sayılarımızdan en az birinin paydası çift olmalı.

    şimdi bu 2x/(2x+1) i de (2x-1)/2x e benzetirsek sorun kalkar . bu iki ifadenin farkını alalım bu fark 1/(2x)(2x+1) e eşittir. paydamız çift ve payı 1 o halde ifadeyi benzetirken benzettiğimiz ifade paydası çift olan 1/n biçimindeki bir sayı benzettiğimiz sayı zaten paydalarından en az biri çift olan 1/n biçimindeki ifadelerle toplanıyordu.o halde 2x/2x+1 i de yazarken de 1/n biçimindeki ifadelerden en az birinin paydası çift.

  9. #9

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer
    hocam galiba ben yaptığım çalışmaları birbirine karıştırmışım .doğrusu şu olacaktı.gerçi bu yazacaklarım ispat değil ama:

    mesela bir örnek üzerinden gideyim :1=1/2+1/4+1/11+1/44+1/88 şimdi bunu yazarken 1/11 i kullandık geriye kalan 10/11 ifadesi için 1/n biçimindeki ifadelerin hepsinin paydası çift.ben şöyle düşünüyorum : bu 10/11 paydası çift olan 1/n biçimindeki ifadelerin toplamı olarak yazılabiliyorsa paydası tek olan 1/n biçimindeki sayıların toplamı olarak yazılamaz.ancak işte tam da bu noktayı ispatlayamıyorum.bu belki de matematikte önceden ispatlanmış bir şeydir.belki de düşüncelerim yanlıştır.yani 1/n biçiminde paydası tek olan sayılar toplanarak 2x/(2x+1) e ulaşılabilir.

    ancak eğer böyle bir şey ispatlanmadıysa bunu yeni bir konjektür olarak görebilirmiyiz.
    bu ilk sorunuza denk bişey.
    olacaksa ilk sorunuz hipotez olur ama bu ispatlanmamışsa (belki de kolay bi ispatı var biz göremedik) çoktan birisi tarafından ortaya atılmıştır zaten.

    ayrıca ben de 1 in tamamı tek sayıların tersleri olan sonlu toplam olarak yazılamayacağını düşünüyorum.

  10. #10

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer
    aklıma yeni bir şey geldi .
    sorunun çözümü için şöyle bir şey yapılabilir mi?
    mesela öncelikle 2x/(2x+1) in 1/n biçimindeki paydası tek olan ifadelerin toplamı olarak gösterilmeyeceği yerine (2x-1)/2x ifadesinin tek sayıların çarpımsal tersleri olarak toplanamıyacağını gösterelim.

    şöyle ki paydası tek olan sayıları toplarsak paydası tek olan bir rasyonel sayı elde edilir.payı hiç önemli değil.mesela bu toplam m/(2p+1) biçiminde bu sayıyı başlangıçta aldığımız (2x-1)/2x e eşitlemeye çalışırsak yani içler dışlar çarpımı yapalım ama yaparsak bir tarafın tek bir tarafın çift olduğu çıkar hiç bir tek sayı da çift sayıya eşit olamayacağından 1/n biçimindeki sayılarımızdan en az birinin paydası çift olmalı.

    şimdi bu 2x/(2x+1) i de (2x-1)/2x e benzetirsek sorun kalkar . bu iki ifadenin farkını alalım bu fark 1/(2x)(2x+1) e eşittir. paydamız çift ve payı 1 o halde ifadeyi benzetirken benzettiğimiz ifade paydası çift olan 1/n biçimindeki bir sayı benzettiğimiz sayı zaten paydalarından en az biri çift olan 1/n biçimindeki ifadelerle toplanıyordu.o halde 2x/2x+1 i de yazarken de 1/n biçimindeki ifadelerden en az birinin paydası çift.
    bunu yaparsak içinde tam olarak 1 tane çift olan bir toplamın yazılamayacağını göstermiş oluruz ki bunu göstermek çok zor değil zaten.
    ilk sorumuz bunu istemiyor.


 
1 2

  • Bu yazıyı beğenerek
    destek
    verebilirsiniz

    Foruma üye olmana gerek yok! Facebook hesabınla yorumlarını bekliyoruz!
  • Benzer konular

    1. ispat
      umutkzk, bu konuyu "Özel matematik soruları" forumunda açtı.
      : 4
      : 06 Nis 2013, 11:49
    2. İspat
      sentetikgeo, bu konuyu "Özel matematik soruları" forumunda açtı.
      : 3
      : 27 Oca 2013, 10:35
    3. İspat Lütfen Yardım Edinn ..
      frkn93, bu konuyu "Özel matematik soruları" forumunda açtı.
      : 2
      : 21 Ara 2012, 16:26
    4. Yardım yardım 1 gün kaldı -bileşik önerme
      trashmetal, bu konuyu "9. sınıf matematik soruları" forumunda açtı.
      : 4
      : 06 Ara 2012, 20:00
    5. ispat
      korkmazserkan, bu konuyu "Özel geometri soruları" forumunda açtı.
      : 2
      : 21 May 2011, 02:42
    Forum Kullanım ve Gizlilik Kuralları