1. #1

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer

    Sponsorlu Bağlantılar

    Ardışık tamkare toplamları

    iki tamkarenin toplamı olarak yazılabilen

    sonsuz çoklukta ardışık üçlünün bulunabileceğini (ör: 8=2²+2² , 9=0²+3² , 10=1²+3²)

    ama hiç ardışık 4lünün olmadığını gösteriniz.

  2. #2

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Matematik Öğretmeni

    Sponsorlu Bağlantılar

    herhangi bir x doğal sayısının karesi iki farklı durumda olabilir
    x²=3.a
    x²=3a+1
    aynı şekilde bir y doğal sayısının karesi iki farklı durumda olabilir
    y²=3.b
    y²=3b+1

    bu iki karenin toplamı( x²+y²) için yazılabilecek 4 seçeneğe bakalım

    ( x²+y²)=3a+3b=3(a+b)
    ( x²+y²)=3a+3b+1=3(a+b)+1
    ( x²+y²)=3a+1+3b=3(a+b)+1
    ( x²+y²)=3a+1+3b+1=3(a+b)+2

    (a+b)=k yazarsak iki kare toplamı için
    3k , 3k+1 , 3k+2 formunda sayıların a,b,k doğal sayıları için sonsuz çoklukta bulunabileceğini gösterebiliriz.

  3. #3

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Matematik Öğretmeni

    Sponsorlu Bağlantılar

    ardışık dörtlü olmadığını şöyle gösterelim
    bir sayının karesi mod 4 için
    x²≡0(mod4) yada x²≡1(mod4) olabilir................(1)

    ardşık 4 sayımızda bir k doğal sayısı için 4k , 4k±1 , 4k±2 formunda yazılabilir(4k-1 şeklindekinin yazılamayacağını gösterelim)

    x²+y²≡4k-1(mod4)
    x²+y²≡-1 (mod4)
    x²+y²≡3
    sol tarafın (1) nolu özellik gereği 3 olamayacağı görülüyor

  4. #4

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer
    hocam 4 ardışık sayı kısmını gösterdiğinizi ama diğer çözümünüzde bir sıkıntı olduğunu düşünüyorum.

    çözümünüzden k ların nasıl oluşturulacağı anlaşılmıyor. zaten x²=3a veya 3a+1 dediğimiz şeyde de geçen a sayıları aynı a sayıları değiller. yani atıyorum 3²+3²=18 in oluşturulabilmesi 19 ve 20 nin oluşturulabilmesini gerektiren bir durum değil , ama siz sanki a sabit bir sayıyken 3a şeklinde bir kare bulunduğunda 3a+1 şeklinde bir karenin de bulunduğunu varsaymış oluyorsunuz.

  5. #5

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Matematik Öğretmeni
    1. kısmın hikayesini şöyle açıklayım
    soruyu okudum kafamda çözümü biraz tasarlayıp yazmaya koyuldum sonunu bağlarım düşüncesiyle oradaki 3a ve 3a+1 3b ve 3b+1
    kısımları aslında x²=3a ve 3b+1 y²=3c ve 3d+1 olacaktı baktımki hem toparlayamadım hemde fazla harf kalabalığı oluyor
    hemde yazdığım haliyle a+b=k bağlantısı işimede geldi sonunu bağlamada

    tabi yukarıdaki hali gibi ispat olmaz bugün biraz düşündüm belki bişeyler çıkar biraz zaman olmassa bir ipucu isterim ben...

    2. kısımda 4k+3 şeklinde yazılan sayılar iki kare toplamı olmaz diyor kısaca orada bir sorun yok
    ayrıca şu birinci kısmın ispatını bitirelim ilginç şeyler keşfettim bu iki kare toplamıyla yazılamayacak sayılar ile ilgili onları sonra sorarım bunların mutlaka teorem olarak ifadesi vardır mesela bitanesi şu

    737 sayısı iki kare toplamı yazılamaz ama 738 yazılır nasıl ama

  6. #6

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Matematik Öğretmeni
    1. kısım:

    x doğal sayısı için (x²-1)(x²)(x²+1) ardışık 3 sayı olsun
    x²=x²+02 şeklinde yazılır
    x²+1=x²+12 şeklinde yazılır
    kaldı sadece x² -1 yazmak verdiğiniz örnekte (8-9-10)
    8=22+22 şeklinde yazılmış aynı iki kare toplamı yani

    x²-1=a2+a2 bunun gibi yazılacak sonsuz tane x²-1 olduğunu göstersek olacak
    x²-1=a2+a2
    x²-1=2a2
    x²-2a2=1 bu galiba pell denklemlerine benziyor ama nasıl çözülecek hiçbir fikrim yok bundan başka pek bişey çıkaramıyorum

  7. #7

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer
    tabi yukarıdaki hali gibi ispat olmaz bugün biraz düşündüm belki bişeyler çıkar biraz zaman olmassa bir ipucu isterim ben...
    tabi hocam ipucu sorun değil zaten soru pek zor değil. ipucu gerekeceğini sanmıyorum.

    ayrıca şu birinci kısmın ispatını bitirelim ilginç şeyler keşfettim bu iki kare toplamıyla yazılamayacak sayılar ile ilgili onları sonra sorarım bunların mutlaka teorem olarak ifadesi vardır mesela bitanesi şu

    737 sayısı iki kare toplamı yazılamaz ama 738 yazılır nasıl ama
    evet bu yazdığınızı direkt söyleyen bi teorem olmasa da (belki vardır ben bilmiyorum ) bikaç teoremin birleşiminden hangi sayıların yazılabileceğini sonuç olarak çıkarabiliyoruz. mesela 738 çok bariz olmasaydı ((719)²+0²) yine de böyle asal çarpım halindeyken yazılıp yazılamayacağını büyük ihtimalle söyleyebilirdik. 737 zaten 4k+3 şeklinde yazılamaz.

  8. #8

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer
    hocam (x²-1) ifadesini tamkare toplamı yapan çok basit bi hile var ve sizin de bunu bildiğinizden ve daha önce kullandığınızdan eminim. en azından çarpanlara ayırma sorularında çok çıkıyor karşımıza.
    sorunun orijinal çözümü nasıl bilmiyorum, büyük ihtimalle birçok farklı formülle bu üçlüler üretilebiliyordur (mesela benim bulduğum 16-17-18 i üretmiyor)

    gelelim ipucu kısmına
    8=4+4 olarak üretildiği doğru ama bu 4 ler farklı ifadelerin karesi yani pell pek işimize yaramaz , en azından bahsettiğim formül için.

  9. #9

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Matematik Öğretmeni
    1.kısım;
    şimdi (x²-1) , (x²) , (x²+1) formundaki ardışık 3 asal sayının iki kare toplamı olarak yazalımında ortadaki sayı tek sayı olsun yani (2k+1)2 formunda ortadaki sayı ve 3. sayı gayet basit
    (2k+1)2=(2k+1)2+02
    (2k+1)2+1=(2k+1)2+12

    ortadaki sayının formu (2k+1)2=4k2+4k+1 ise ilk sayı
    4k2+4k olmalı buda çarpanlarına ayrılırsa
    4k2+4k=(2k)2+(2√k)2
    sağ tarafın doğal sayı olması √k ifadesinin doğal sayı olmasına bağlı
    o halde biz k doğal sayısını herhangi bir m∈N için k=m2 şeklinde seçersek
    ilk ardışık sayımızda iki kare toplamı olarak yazılır k=m2 şeklinde sonsuz k doğal sayı değeri olduğundan bu formda iki kare toplamı olarak yazılan sonsuz çözüm bulunur
    bu formdaki sayı üçlüleri için birkaç örnek yazarsak
    m=0 için k=0 buradan (0,1,2)
    m=1 için k=1 buradan (8,9,10)
    m=2 için k=4 buradan (80,81,82)
    m=3 için k=9 buradan (360,361,362)
    .....................................................

  10. #10

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer
    elinize sağlık hocam
    yani her k için
    (2k²+1)² ortadaki sayı olduğundan bu üçlü isteneni sağlar diyebiliriz.


    dediğiniz 7 nin kuvvetlerinin yazılması konusunda ise şunları yazabilirim
    Fermat Teoremi: bir p asal sayısının iki kare toplamı olarak yazılması için gerek ve yeter koşul 4k+1 şekilli olmasıdır
    Fibonacci Özelliği: tamkare toplamı olarak yazılabilen iki sayının çarpımı da tamkare toplamı olarak yazılabilir


 

  • Bu yazıyı beğenerek
    destek
    verebilirsiniz

    Foruma üye olmana gerek yok! Facebook hesabınla yorumlarını bekliyoruz!
  • Benzer konular

    1. Ardışık Sayılar
      birsorumvar, bu konuyu "Ygs & Lys Matematik" forumunda açtı.
      : 3
      : 13 Kas 2014, 22:44
    2. Ardışık Sayı
      sdfrrty, bu konuyu "Ygs & Lys Matematik" forumunda açtı.
      : 7
      : 21 Haz 2013, 13:36
    3. ardışık sayılar
      kardelencicegi, bu konuyu "9. sınıf matematik soruları" forumunda açtı.
      : 2
      : 07 Kas 2012, 21:29
    4. Küme eleman toplamları
      Anchuez, bu konuyu "Özel matematik soruları" forumunda açtı.
      : 1
      : 15 Nis 2012, 18:05
    5. ardışık sayılar toplamları sorusu
      selenxx, bu konuyu "9. sınıf matematik soruları" forumunda açtı.
      : 2
      : 14 Şub 2011, 19:38
    Forum Kullanım ve Gizlilik Kuralları