Ardışık tamkare toplamları

iki tamkarenin toplamı olarak yazılabilen

sonsuz çoklukta ardışık üçlünün bulunabileceğini (ör: 8=2²+2² , 9=0²+3² , 10=1²+3²)

ama hiç ardışık 4lünün olmadığını gösteriniz.

herhangi bir x doğal sayısının karesi iki farklı durumda olabilir
x²=3.a
x²=3a+1
aynı şekilde bir y doğal sayısının karesi iki farklı durumda olabilir
y²=3.b
y²=3b+1

bu iki karenin toplamı( x²+y²) için yazılabilecek 4 seçeneğe bakalım

( x²+y²)=3a+3b=3(a+b)
( x²+y²)=3a+3b+1=3(a+b)+1
( x²+y²)=3a+1+3b=3(a+b)+1
( x²+y²)=3a+1+3b+1=3(a+b)+2

(a+b)=k yazarsak iki kare toplamı için
3k , 3k+1 , 3k+2 formunda sayıların a,b,k doğal sayıları için sonsuz çoklukta bulunabileceğini gösterebiliriz.

ardışık dörtlü olmadığını şöyle gösterelim
bir sayının karesi mod 4 için
x²≡0(mod4) yada x²≡1(mod4) olabilir................(1)

ardşık 4 sayımızda bir k doğal sayısı için 4k , 4k±1 , 4k±2 formunda yazılabilir(4k-1 şeklindekinin yazılamayacağını gösterelim)

x²+y²≡4k-1(mod4)
x²+y²≡-1 (mod4)
x²+y²≡3
sol tarafın (1) nolu özellik gereği 3 olamayacağı görülüyor

hocam 4 ardışık sayı kısmını gösterdiğinizi ama diğer çözümünüzde bir sıkıntı olduğunu düşünüyorum.

çözümünüzden k ların nasıl oluşturulacağı anlaşılmıyor. zaten x²=3a veya 3a+1 dediğimiz şeyde de geçen a sayıları aynı a sayıları değiller. yani atıyorum 3²+3²=18 in oluşturulabilmesi 19 ve 20 nin oluşturulabilmesini gerektiren bir durum değil , ama siz sanki a sabit bir sayıyken 3a şeklinde bir kare bulunduğunda 3a+1 şeklinde bir karenin de bulunduğunu varsaymış oluyorsunuz.

1. kısmın hikayesini şöyle açıklayım
soruyu okudum kafamda çözümü biraz tasarlayıp yazmaya koyuldum sonunu bağlarım düşüncesiyle oradaki 3a ve 3a+1 3b ve 3b+1
kısımları aslında x²=3a ve 3b+1 y²=3c ve 3d+1 olacaktı baktımki hem toparlayamadım hemde fazla harf kalabalığı oluyor
hemde yazdığım haliyle a+b=k bağlantısı işimede geldi sonunu bağlamada:)

tabi yukarıdaki hali gibi ispat olmaz bugün biraz düşündüm belki bişeyler çıkar biraz zaman olmassa bir ipucu isterim ben...

2. kısımda 4k+3 şeklinde yazılan sayılar iki kare toplamı olmaz diyor kısaca orada bir sorun yok
ayrıca şu birinci kısmın ispatını bitirelim ilginç şeyler keşfettim bu iki kare toplamıyla yazılamayacak sayılar ile ilgili onları sonra sorarım bunların mutlaka teorem olarak ifadesi vardır mesela bitanesi şu

7³⁷ sayısı iki kare toplamı yazılamaz ama 7³⁸ yazılır nasıl ama

1. kısım:

x doğal sayısı için (x²-1)(x²)(x²+1) ardışık 3 sayı olsun
x²=x²+0² şeklinde yazılır
x²+1=x²+1² şeklinde yazılır
kaldı sadece x² -1 yazmak verdiğiniz örnekte (8-9-10)
8=2²+2² şeklinde yazılmış aynı iki kare toplamı yani

x²-1=a²+a² bunun gibi yazılacak sonsuz tane x²-1 olduğunu göstersek olacak
x²-1=a²+a²
x²-1=2a²
x²-2a²=1 bu galiba pell denklemlerine benziyor ama nasıl çözülecek hiçbir fikrim yok bundan başka pek bişey çıkaramıyorum

aerturk39'den alıntı:

tabi yukarıdaki hali gibi ispat olmaz bugün biraz düşündüm belki bişeyler çıkar biraz zaman olmassa bir ipucu isterim ben...

tabi hocam ipucu sorun değil zaten soru pek zor değil. ipucu gerekeceğini sanmıyorum.

aerturk39'den alıntı:

ayrıca şu birinci kısmın ispatını bitirelim ilginç şeyler keşfettim bu iki kare toplamıyla yazılamayacak sayılar ile ilgili onları sonra sorarım bunların mutlaka teorem olarak ifadesi vardır mesela bitanesi şu

7³⁷ sayısı iki kare toplamı yazılamaz ama 7³⁸ yazılır nasıl ama

evet bu yazdığınızı direkt söyleyen bi teorem olmasa da (belki vardır ben bilmiyorum :) ) bikaç teoremin birleşiminden hangi sayıların yazılabileceğini sonuç olarak çıkarabiliyoruz. mesela 7³⁸ çok bariz olmasaydı ((7¹⁹)²+0²) yine de böyle asal çarpım halindeyken yazılıp yazılamayacağını büyük ihtimalle söyleyebilirdik. 7³⁷ zaten 4k+3 şeklinde yazılamaz.

hocam (x²-1) ifadesini tamkare toplamı yapan çok basit bi hile var ve sizin de bunu bildiğinizden ve daha önce kullandığınızdan eminim. en azından çarpanlara ayırma sorularında çok çıkıyor karşımıza.
sorunun orijinal çözümü nasıl bilmiyorum, büyük ihtimalle birçok farklı formülle bu üçlüler üretilebiliyordur (mesela benim bulduğum 16-17-18 i üretmiyor)

gelelim ipucu kısmına
8=4+4 olarak üretildiği doğru ama bu 4 ler farklı ifadelerin karesi yani pell pek işimize yaramaz , en azından bahsettiğim formül için.

1.kısım;
şimdi (x²-1) , (x²) , (x²+1) formundaki ardışık 3 asal sayının iki kare toplamı olarak yazalımında ortadaki sayı tek sayı olsun yani (2k+1)² formunda ortadaki sayı ve 3. sayı gayet basit
(2k+1)²=(2k+1)²+0²
(2k+1)²+1=(2k+1)²+1²

ortadaki sayının formu (2k+1)²=4k²+4k+1 ise ilk sayı
4k²+4k olmalı buda çarpanlarına ayrılırsa
4k²+4k=(2k)²+(2√k)²
sağ tarafın doğal sayı olması √k ifadesinin doğal sayı olmasına bağlı
o halde biz k doğal sayısını herhangi bir m∈N için k=m² şeklinde seçersek
ilk ardışık sayımızda iki kare toplamı olarak yazılır k=m² şeklinde sonsuz k doğal sayı değeri olduğundan bu formda iki kare toplamı olarak yazılan sonsuz çözüm bulunur
bu formdaki sayı üçlüleri için birkaç örnek yazarsak
m=0 için k=0 buradan (0,1,2)
m=1 için k=1 buradan (8,9,10)
m=2 için k=4 buradan (80,81,82)
m=3 için k=9 buradan (360,361,362)
.....................................................

elinize sağlık hocam
yani her k için
(2k²+1)² ortadaki sayı olduğundan bu üçlü isteneni sağlar diyebiliriz.


dediğiniz 7 nin kuvvetlerinin yazılması konusunda ise şunları yazabilirim
Fermat Teoremi: bir p asal sayısının iki kare toplamı olarak yazılması için gerek ve yeter koşul 4k+1 şekilli olmasıdır
Fibonacci Özelliği: tamkare toplamı olarak yazılabilen iki sayının çarpımı da tamkare toplamı olarak yazılabilir