Sayı Yerleştirme ve Olimpiyat Soruları

1- Aşağıdaki şekilde en az bir köşesi ortak olan dikdörtgenler komşu sayılıyor. 1'den 8'e kadar sayıları öyle yerleştirin ki, ardışık sayılar komşu olmasın.

Arada zihni de kontrol etmek lazım.
2- 1/(1.2)+1/(2.3)+1/(3.4)+...+1/(2001.2002)=?
3- 1.1!+2.2!+3.3!+...+99.99!=?
4- 1³+2³+3³+...+50³=?
5- 5⁰+5¹+5²+...+5⁵⁰=?
İlk soru zeka sorusu olmakla beraber, diğer üç soru olimpiyatlarda çıkmış sorulardır, buna rağmen çözümleri bilmece çözümü gibi olduğundan tek başlıkta topladım.
Soruların cevapları ve çözümleri kolay, biraz beyin fırtınası amacıyla bulunsun istedim.
İyi günler.

2,3,4 ün direk formülleri var ispat şeklinde mi istiyorsun

Evet, ispat şeklinde olmalı.
Ama soru üzerinden çıkarım yaparak çözmek de kabulümüzdür.
İyi günler.

3ü rahatça yapayım 4 için güzel bir ispatım vardı hatırlarsam eklerim
1.1!+2.2!+3.3!+...+99.99!
1!+2!+3!+.............+99!
------------------------
2!+3!+4!...........+99!+100!
-(1!+2!+3!+.............+99!)
-----------------------------
100!-1

benimki kareler toplamı imiş buda benden olsun

ortadaki boş kısım onlara eşit denilip geçilecek bişey değil bence.

benim ödevimdi bu 100 alamamıştım zaten.
ortadaki boşluğunda onlara eşit olduğunu göstermek önemli sanırım
-Düşündümde tümevarım gibi yapsam n.yi gösteremem şekille ama ilk olarak 3ün karesine kadar bir şekil çizsem daha sonra 10a kadar bir şekil çizip onun doğruluğunu kabul ettikten sonra 11e kadar çizerek son kareleri saysam olur mu

formülün kendisi tümevarımla ispatlanıyor zaten.

Bir soru daha ekledim.
İyi çalışmalar.

3.Soruyla ilgili şöyle bir düşüncem var.Sonuç (n+1)!-1 oluyor.
Mesela 1.1!+2.2! işleminin sonucu 2 tane ifade var. 3!-1 , 5 bulunur.

Yada 1.1! + 2.2! + 3.3! => 4!-1 = 23 gibi...

soruda da aynı şekilde , (n+1)!-1 olacaktır.
99'dan 1'e kadar 99 tane terim vardır.(99-1+1)

100!-1 olur.