İspat Yapabilme Sanatı

Merhaba değerli matematik tutkunları;
10. sınıfa geçtim artık, haliyle yavaş yavaş ispat yapabilecek duruma gelmem gerektiğini düşünüyorum. Hatta 9. sınıfın ilk konusu mantıktır, daha sonra ispat yöntemleri geliyor, fakat malesef anlatılmadan geçildi, birkaç meraklı arkadaş olarak kendimiz araştırdık tabi. Ben matematiğin otomatikleştirilmiş bir ders olmadığını düşünüyorum; sanırım kuralı verilmiş bir f fonksiyonunun tanım kümesini 5 şık içerisinden seçmek, matematik yapmak sayılmaz, değil mi?
Öncelikle yukarıda yazdıklarımda yanlış bir şeyler olduğunu düşünüyorsanız, duymak ve fikrinizi almak isterim. Eğer yukarıda anlattıklarıma katılıyorsanız sorunuma geçeyim. Malesef bugüne kadar ispatlarla karşılaşmadığım için gördüğüm bir şeyi ispatlamakta zorlanıyorum, biraz erteliyorum, tekrar tekrar deniyorum, bazen sonuca ulaşabiliyorum; bazı durumlarda ise küçük bir araştırmadan sonra ispatı yapabiliyorum. Genellikle ispat edeceğim teoremi gördüğümde kafamda bir ışık yanmıyor diye özetleyebilirim.
Tavsiyelerinizi almak isterim, özellikle bir ispata başlarken nasıl başlıyorsunuz, önceden kafa yoruyor musunuz, yoksa doğrudan ispata mı geçiyorsunuz? Hangi ispat yöntemini kullanacağınıza nasıl karar veriyorsunuz?
Biraz uzun oldu, umarım derdimi anlatabilmişimdir. Okuduğunuz için teşekkür ederim.
İyi günler.

Kafa yormadan , hiç bir şeyi ispatlayamazsın ki ! Direk nasıl ispata geçeceksin:) Eğer başkalarının ispatlarının mantığını kavramadan direk öğrenirsen bu sefer hemen unutursun yani , her şeyi ispatlayacaksın diye bir şey yok 0dan ama , diğer matematikçilerin ispatları üzerinde de kafa yormak gerekiyor...

Kafa yormaktan kastım, ispata başlamadan önce plan yapılıp yapılmadığı idi. Şu yöntemi izlemeliyim diye planlamak mı kazançlı olur, yoksa başlayıp düşünerek devam etmek mi daha avantajlı olur? Senin de dediğin gibi kafa yormadan bir şey üretmek zor oluyor.
Ben şu anda senin dediğin yöntemi uyguluyorum, kendim ispatlamayı deniyorum, yapamazsam sakin kafayla bir daha incelemek için kenara bırakıyorum, hazır olduğumu hissettiğimde tekrar deniyorum, yine olmazsa küçük bir araştırma yapıp ispatı tamamlıyorum.
Bundan daha iyi bir yöntem olup olmadığını merak ediyorum, sizlerin neler yaptığını merak ediyorum da diyebilirim.
Fikrini belirttiğin için teşekkür ederim. :)
İyi günler.

Ben de kendi fikrimi söyleyim, ispatın ne ile ilgili olduğuna az çok karar verdikten sonra başlarım bir şeyler yazmaya, yani önceden kafa yormaktansa ispata başladıktan sonra devamını getirmeye çalışıyorum :) Tabi bu basit ispatlarla uğraştığımız için de böyle olabilir. Önceden yaptığım (yapmaya çalıştığım) bir formül ispatını örnek veriyim,

Bu yazıyı yazarken sadece kombinasyon ile ilgili olabileceğini düşünerek başlamıştım, gerisi kendiliğinden geliyor zaten :)

Teşekkürler gökberk;
Ben de genellikle doğaçlama çalışıyorum. :)
Belki de sorunum partik eksikliğidir, bundan sonra daha çok pratik yapmaya karar verdim.
Hatta ilginç ispatları buraya eklersek biraz yorumlamayla çok güzel bilgi kaynağı olur fikrindeyim. :)
İyi günler.

Evet yaptığın ispatları ekleyebilirsin :)

İspatları araştırmak ve ispat yapmak ilgi alanım zaman buldukça uğraşmaya çalışırım ben de. :) :)
Bence basit özelliklerden başlamalısın, geometriyle başlamanın daha yararlı olabileceğini düşünüyorum, örneğin bir konu anlatımlı kitabı açtığında, bir çok özellik bulursun. Öncelikle eğer konuyu çok iyi öğrendiysen bu özelliklerin nereden geldiğini yani ispatını yapman daha faydalı olabilir. Mesela geometride benzerlik genelde ispatlarda işe yarar, benzerliği görebilmeli ve uygulayabilmelisin mesela buradaki ispatta benzerliği kullandığımı görebilirsin.
Mesela buradada var bir örnek.(Benzerlik olmasa da)
Matematikte 11. sınıfta toplam sembolu konusunda tümevarımla ispat yöntemleri var, formüllerden bir kaçının ispatı burada var.
buradaki de bir örnek sayılabilir. :)
burada yine :)
burada.

Özelliklerin ispatı haricinde bu tarz bir ispat var. Bunların özellik ispatlarından daha zevkli olduğunu düşünüyorum. Çünkü daha geniş düşünmek gerekiyor. :)

Konu ile ilgili aklıma gelen bazı noktaları belirteyim.

1-İlk olarak, hem matematikte ve geometride ispat yapabilmek için, konuya çok iyi hakim olmalısın, ispat yöntemlerini iyi bilmelisin.

2-Matematik ispatla, geometrik ispatın biraz farkı var.
Geometrik ispat, daha çok şekle dayalı olduğu için, yazması kısa, ama düşünmesi ve bulması daha zordur.
Matematik ispat, bazen bir kaç sayfa sürebilir, ama geometrik ispat , bazen şekil üzerindeki bir iki çizikten ibaret olabilir. Ama işin zor kısmı, nereye ne çizeceğini görebilmek.
Şahsen bence, her ne kadar bazen sayfalar dolu da olsa, matematik ispat, geometrik ispattan bir kademe daha kolaydır(genel olarak)
çünkü, geometrinin kendisi zaten analitik/uzaysal yeteneğe dayalı bir iştir. İşin içine ispat girdiği zaman bu yeteneğin iki katına çıkması gerekebilir.
3- Her zaman aynı ispat yöntemi kullanılmaz.

Önce tümevarım ve tümdengelim ispat yöntemleri olarak iki kısma ayrılıyor.
Tümevarım ispat yöntemi 11. sınıfta ve genelde diziler için kullanılan ispat yöntemi
Şimdilik bileceğin tümdengelim ispat yöntemleri
Özellikle 3 ispat yöntemi çok kullanılır.
En çok kullanılan doğrudan ispat yöntemidir, ama her ispat , bu yöntemle yapılamaz. Bazen olmayana ergi ve, dolaylı ispat(çelişki bulma) yöntemleri kullanılır.
Dolaylı ispat, genelde, bir şeyin doğru olduğunun ispat edilmesi isteniyorsa, yanlış olarak kabul edilip,(yanlış olduğunun gösterilmesi istenirse, doğru olarak kabul ederek) ispat sonunda matematiksel kurallara aykırı bir hata elde edip, kabulün yanlış olduğunun gösterilerek ispatın tamamlanması
Olmayana ergi ise,
p<=>q≡q'<=>p'
denkliği kullanılarak doğrudan ispat yerine sağ taraftaki değil ispatı yapılması.

(Bu konu 10. sınıf geometrisinin başında anlatılıyor diye hatırlıyorum. 9 a mı almışlar? Ben bu yıl 9 geometri anlattım. bunu anlattım mı, hatırlamıyorum.)
4- İspatta en önemli şeyi unuttum. Kesinlikle harfli ifadelerle aranın iyi olası gerekiyor. Çünkü ispatın bazen nerdeyse tamamı harflerden oluşur.

5- İspat yapmadan önce, mutlaka yapılmış ispatları inceleyip teknik öğren.
Eski ders kitapları ispat doluydu, kimse bakmazdı. şimdiki kitaplarda artık ispatları da kaldırdılar diye biliyorum.
Eğer bir yerlerden eski ders kitaplarını bulursan bunları iyi sakla. hepsi ispat doludur.
(forumdaki özel geometri sorularını bazılarının içinde ispatlar olması lazım. onları da incele)
6- son olarak, şunu unutma.
buralarda yapılan ispatlar leblebi-çekirdek. Asıl ispat üniversitede.

Teşekkür ederim öğretmenim.
İspatlar 9. sınıf matematikte vardı, ilk konu olan mantıktan sonra geliyordu.
Eski ders kitaplarını araştırayım, belki 2. el kitapcılarda bulunabilir.
İyi günler.