Polinom Soruları

kcancelik 00:49 16 Eyl 2012 #1

İlk olarak en basit soru çeşidi ile başlayalım:

Soru 1:

P(x)=√2x⁵-8x⁵+7x²+5x+14 polinomunun derecesi, başkatsayısı, terim sayısı, sabit terimi nelerdir?

Cevap 1:

Polinomun derecesi der[P(x)] ile gösterilir ve en büyük dereceli terimin derecesine eşittir. Polinomda en büyük dereceli terimin derecesi 5 olduğundan der[P(x)]=5 olur.
Polinomda en büyük dereceli terimin katsayısına başkatsayı denir. Polinomumuzun derecesi 5 olduğundan başkatsayımız x⁵'in katsayısıdır. Burada doğrudan √2 diyemeyiz; öncelikle ifadeyi düzenlememiz gerekir. P(x)=√2x⁵-8x⁵+7x²+5x+14=(√2-8)x⁵+7x²+5x+14 olduğundan başkatsayımız √2-8 olur.
Terim sayısını yine düzenlediğimiz hale göre bulmalıyız, toplama ve çıkarma işlemleri ile birbirinden ayrılan parçalara terim denir. Gördüğümüz gibi polinomumuzun terim sayısı 4'tür.
Sabit terim x'e bağlı olmayan terimdir, burada x'e bağlı olmayan terim 14 olduğundan sabit terim 14'tür.
__________________________________________

Soru 2: P(x)=8x²+5x+9 ve Q(x)=5x²+7x+3 olduğuna göre K(x)=P(x).Q(x) polinomu nedir?

Cevap 2: Burada en basit yöntem her terimi tek tek çarpmaktır. Böyle yapalım:
K(x)=(8x²+5x+9)(5x²+7x+3)=40x⁴+56x³+24x²+25x³+35x²+15x+45x²+63x+27=40x⁴+81x³+104x²+78x+27 olur.
Daha kestirme bir yol kullanırsak daha rahat işlem yapabiliriz. İki tane 2. dereceden polinom çarptığımızdan 4. dereceden olmalıdır. O halde 4. dereceden 0. dereceye kadar bütün terimleri nasıl elde edeceğimizi düşünüp katsayılar çarpımını katsayı olarak yazarsak çarpım polinomunu elde edebiliriz. Bu yöntemle çözelim:
4. dereceden olması için 2. dereceden iki terimi çarpmalıyız. O halde 4. terimin katsayısı 8.5=40 olur. 3. dereceden olması için 2. dereceden terim ile 1. dereceden terim çarpmalıyız. O halde 3. dereceden terimin katsayısı 8.7+5.5=56+25=81 olur. 2. dereceden olması için 2. dereceden ile 0. dereceden terim veya 1. dereceden iki terim çarpabiliriz. O halde 2. dereceden terimin katsayısı 8.3+5.9+5.7=24+45+35=104 olur. Aynı şekilde diğer terimler için de işlemi tekrarlarsak aynı polinoma daha kısa sürede ulaşabiliriz.
_______________________________

Soru 3: P(x)=8x³+24x²+24x+8 olduğuna göre bu polinomun (x+1) ile bölümünde bölüm polinomu nedir?

Cevap 3: Polinom bölmesi, her adımda en büyük dereceli terimi yok edecek şekilde yapılır, en sonda bölen polinomundan derece anlamında küçük olan bir kalan polinomu kalır. Burada en büyük dereceli terim x³ olduğundan ilk önce 8x² ile çarpmalıyız ki en büyük dereceli terim yok olsun: 8x³+24x²+24x+8-8x²(x+1)=8x³+24x²+24x+8-8x³-8x²=16x²+24x+8. Daha sonra 16x ile çarparsak en büyük dereceli terim olan 16x²'yi yok edebiliriz: 16x²+24x+8-16x(x+1)=16x²+24x+8-16x²-16x=8x+8. 8 ile çarparsak en büyük dereceli terim olan 8x yok olur: 8x+8-8(x+1)=8x+8-8x-8=0 olduğundan bölüm 8x²+16x+8 olur. Bu her soruda işe yarayan bir yöntemdir; ancak bazen öğrencilerin kolay yoldan zaman kazanması istendiğinden bu tarz sorular sorulabilir. Zira bu soruda küp açılımını kullanabilirsek ifadenin küp olduğunu anlaşılabilir. 8x³+24x²+24x+8=8(x³+3x²+3x+1) olduğundan 8(x+1)³ oluyor. Bu ifadenin de x+1'e bölümü 8(x+1)² oluyor. Genellikle bu tarz kısa yolları aramak kısa sürdüğünden ve çözümde çok zaman kazandırdığından polinom bölmesi sorularında bu özellikleri aramak faydalı olabilir.
____________________________________

Soru 4: P(x)=4x²+20x+25 polinomunun 2x+5 ile bölümünden kalan kaçtır?

Cevap 4: 2x+5=0 diyerek bulduğumuz x'i polinomda yerine koyarsak kalanı bulabiliriz. 2x+5=0 ise 2x=-5, x=-5/2 olur. Yerine yazarsak, 4(-5/2)²+20(-5/2)+25=4(25/4)-50+25=25-50+25=0 olur. Bu yöntem her soruda işe yaramaktadır, ayrıca isterseniz polinom bölmesi de yapabilirsiniz. Karşılaşabileceğimiz bir kolaylığa bakalım: Birinci ifadeyi çarpanlarına ayıralım: 4x²+20x+25=(2x+5)². Bu durumda bölüm 2x+5, kalan 0 olacaktır.

Not: Soruların arkasından bazı sorularda görebileceğimiz kısa yolları anlatmaya çalıştım, umarım faydalı olur.
İyi günler.