[andromeda]

1-

A+C=B
A.C=3.B-2 ise A ' nın C cinsinden eşiti nedir?

2-

41a ve 1b6 üç basamaklı sayılardır.

(41a).(1b6) çarpımı 9 ile tam bölünebild. göre a+b toplamının alabilecegi en büyük değer kaçtır?

3-

p ve q birbirlerinden farklı asal sayılar olmak üzere,

a= p².q
b= q³
c= a².b⁴ ise c sayısını tam bölebilen p ve q dışında kaç pozitif tam sayı vardır?

4- x+y < z+t
y+t < x+z

x+t = y+z koşullarına uyan x y z ve t gerçek sayıları için

I. x>y
II. z>y
III. z>t yargılarından hangileri kesin doğrudur?

5- a-4 < b-2 < a+5 old. göre,

a²+b²-2ab ifadesinin alabileceği kaç farklı tamsayı değeri vardır?

[senfoni344]

[Mat.]

C.2
(41a).(1b6) çarpımı 9 ile bölünebiliyormuş. O halde 3 durum söz konusudur:
1. 41a ve 1b6 sayıları 3'e bölünürler; ancak 9'a bölünmezler.
2. 41a sayısı 9'a bölünür; ancak 1b6 sayısı 3'e bölünmez.
3. 41a 3'e bölünmez; ancak 1b6 sayısı 9'a bölünür.
Önce birinci durumu inceleyelim. Bir sayının 3'e bölünebilmesi için rakamları toplamının 3'ün katı olması gerekli ve yeterli. 9'a bölünebilme kuralı da yanı şekilde. Buna göre;
a+5 ve b+7 sayıları 3'ün katı olmalı; ancak 9'un katı olmamalı. O halde a=1 veya 7 olabilir. b=5 veya 8 olabilir. a ve b için 2'şer ihtimal olduğundan 2.2=4 ihtimal vardır.
İkinci duruma gelelim.
a+5 sayısı 9'un katı olmalı ve b+7 sayısı 3'ün katı olmamalı. a=4 olur. b=1,3,4,6,7,9 olabilir. 1.6=6 durum var.
Üçüncü duruma gelelim.
b+7 sayısı 9'a bölünecek; a+5 sayısı 3'e bölünmeyecek.
b=2 olur. a=2,3,5,6,8,9 olabilir. 6 durum var.
Sonuç: İstenen şartların sağlandığı 4+6+6=16 durum vardır. a=7, b=8 olduğunda a+b toplamı en büyük olur.

[Mat.]

C.3
a=p².q
b=q³
c=a².b⁴=p⁴.q².q¹²=p⁴.q¹⁴
c sayısının (4+1).(14+1)=75 pozitif tam sayı böleni vardır. p ve q da bu bölenlerin içinde yer alır. p ve q haricinde 73 pozitif tam sayı böleni vardır.

[matplus]

5.) a-4 < b-2 < a+5 eşitsizliğinde her üç taraftan a çıkartırsak;
-4 < -a+b-2 < 5 elde edilir. daha sonra her üçüne 2 ekleyip,
-2 < -a+b < 7 elde edilir. sonra kare alırız, çünkü bize sorulan a² + b² - 2a.b ifadesi (a-b)² nin açılımıdır. bu arada (a-b)² = (b-a)² dir. ancak kare alırken DİKKAT !

0 ≤ (-a+b)² < 49 olur. böylelikle 49 tamsayı değeri olur bu aralıkta.

[matplus]

4.) verilen eşitsizliklerden öncelikle;
y+t < x+z eşitsizliğinde her iki tarafa x eklersek,
x+t+y < 2x+z olur ve de x+t yerine y+z yazıp düzenlersek,
y < x elde edilirki I. si doğru olmuş olur.

daha sonra, verilen iki eşitsizliği taraf tarafa toplarsak,
y < z elde edilirki II. ifade de doğru olur.

son olarak, II. eşitsizliğin her iki tarafına t eklersek,
y+2t < x+t+z elde edilir ve x+t yerine y+z yazılıp düzenlenirse,
t < z elde edilir ve de III: ifade de doğru olur.