1) a , b , c sıfırdan farklı tamsayılardır .
a=c−b+5 olduğuna göre , a+3c+b−5 ifadesi kaçtır ? doğru cevap (32)
2) abc , bca ve cab üç basamaklı sayıları rakamları toplamının sırasıyla x+1 , 2x+3 ve 5x+3 katı olduğuna göre x kaçtır ? doğru cevap (9)
3) 3.15+5.17+7.19+......+23.35 = n olduğuna göre ,
3.32+5.36+7.40+......+23.72 toplamının n türünden değeri nedir ? doğru cevap ( 2n+286)
4) x! sayısı 3 tabanında yazıldığında sondan 4 basamağı sıfır olduğuna göre , x in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır ? doğru cevap (30)
5) a ve b negatif tamsayılardır .
19/a -11/b ifadesinin alabileceği en büyük negatif tamsayı değeri için a+b toplamı kaçtır ? doğru cevap (-16)
a=c−b+5 olduğuna göre , a+3c+b−5 ifadesi kaçtır ? doğru cevap (32)
2) abc , bca ve cab üç basamaklı sayıları rakamları toplamının sırasıyla x+1 , 2x+3 ve 5x+3 katı olduğuna göre x kaçtır ? doğru cevap (9)
3) 3.15+5.17+7.19+......+23.35 = n olduğuna göre ,
3.32+5.36+7.40+......+23.72 toplamının n türünden değeri nedir ? doğru cevap ( 2n+286)
4) x! sayısı 3 tabanında yazıldığında sondan 4 basamağı sıfır olduğuna göre , x in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır ? doğru cevap (30)
5) a ve b negatif tamsayılardır .
19/a -11/b ifadesinin alabileceği en büyük negatif tamsayı değeri için a+b toplamı kaçtır ? doğru cevap (-16)
C.1
a=c-b+5 ifadesinden yola çıkılarak, bize sorulan ifadede a yerine "c-b+5" yazılabilir. O halde bizden istenen= a+3c+b-5 = c-b+5+3c+b-5 =4c olacaktır. c ise sıfırdan farklı iki tamsayınn toplamının 5 eksiği olan sıfırdan farklı bir tamsayı olduğuna göre cevabımız tek bir değer olmayıp bir küme şeklinde olmalıdır ki biz bu kümeye çözüm kümesi deriz.
Çözüm kümesi= {-4∞,..........,-8,-4,4,8,........,4∞}
a=c-b+5 ifadesinden yola çıkılarak, bize sorulan ifadede a yerine "c-b+5" yazılabilir. O halde bizden istenen= a+3c+b-5 = c-b+5+3c+b-5 =4c olacaktır. c ise sıfırdan farklı iki tamsayınn toplamının 5 eksiği olan sıfırdan farklı bir tamsayı olduğuna göre cevabımız tek bir değer olmayıp bir küme şeklinde olmalıdır ki biz bu kümeye çözüm kümesi deriz.
Çözüm kümesi= {-4∞,..........,-8,-4,4,8,........,4∞}
C.2
abc üç basamaklı doğal sayısı "100.a+10.b+c" şeklinde, bca üç basamaklı doğal sayısı "100.b+10.c+a" şeklinde, cab üç basamaklı doğal sayısı ise "100.c+10.a+b" şeklinde yazılabilir. Soruda verilenlere göre de şu eşitlikleri yazmamız herhalde zor olmaz:
100.a+10.b+c=(a+b+c).(x+1)
100.b+10.c+a=(a+b+c).(2x+3)
100.c+10.a+b=(a+b+c).(5x+3)
Bu üç eşitliği görünce herhalde akla ilk üçünü de toplamak gelir ki biz de öyle yapacağız.
111.a+111.b+111.c=(a+b+c).(8x+7)
Sanırım, artık anlaşıldı soru.
111.(a+b+c)=(a+b+c).(8x+7)
111=8x+7
x=13 olur.
abc üç basamaklı doğal sayısı "100.a+10.b+c" şeklinde, bca üç basamaklı doğal sayısı "100.b+10.c+a" şeklinde, cab üç basamaklı doğal sayısı ise "100.c+10.a+b" şeklinde yazılabilir. Soruda verilenlere göre de şu eşitlikleri yazmamız herhalde zor olmaz:
100.a+10.b+c=(a+b+c).(x+1)
100.b+10.c+a=(a+b+c).(2x+3)
100.c+10.a+b=(a+b+c).(5x+3)
Bu üç eşitliği görünce herhalde akla ilk üçünü de toplamak gelir ki biz de öyle yapacağız.
111.a+111.b+111.c=(a+b+c).(8x+7)
Sanırım, artık anlaşıldı soru.
111.(a+b+c)=(a+b+c).(8x+7)
111=8x+7
x=13 olur.
C.3
n = 3.15+5.17+7.19+......+23.35 imiş.
3.32+5.36+7.40+......+23.72 ifadesine ise A diyelim.
A=3.(15.2+2)+5.(17.2+2)+7.(19.2+2)+......+23.(35.2+2)
A=3.15.2+6+5.17.2+10+7.19.2+14+........+23.35.2+46
A=6+8+14+.....+46+2(3.15+5.17+7.19+......23.35)
A=6+8+14.......+46+2.n
A=[(46-6)/4+1].[(46+6)/2]+2n
A=11.26+2n
A=286+2n olur.
n = 3.15+5.17+7.19+......+23.35 imiş.
3.32+5.36+7.40+......+23.72 ifadesine ise A diyelim.
A=3.(15.2+2)+5.(17.2+2)+7.(19.2+2)+......+23.(35.2+2)
A=3.15.2+6+5.17.2+10+7.19.2+14+........+23.35.2+46
A=6+8+14+.....+46+2(3.15+5.17+7.19+......23.35)
A=6+8+14.......+46+2.n
A=[(46-6)/4+1].[(46+6)/2]+2n
A=11.26+2n
A=286+2n olur.
C.4
x! sayısı 3 tabanında (........abc0000) gibi bir sayıya eşit olur. Yani;
x!=(......abc0000)3 olur.
x!=c.3⁴+ b.3⁵ + a.36+...... şeklindedir.
x!=3⁴.(c+3(b+3a+......)) olur. Burada a,b,c sayıları 3'den küçük birer doğal sayı olduğundan x! sayısı 3⁴'ün katıdır. Ancak 3⁵'in katı değildir. Çünkü 3⁵'in katı olması için "c+3(b+3a+.....)" sayısının 3'ün katı olması gerekir. "c+3(b+3a......)" sayısının 3'ün katı olması içinse c'nin sıfır olması gerekir. Ama c sıfır olamaz; çünkü c sıfır olsaydı, x! sayısının sondan 5 basamağı sıfır olurdu. Bundan dolayı x! sayısı 3⁴'ün katıdır; ama 3⁵'in katı değildir. Bunu sağlayan x doğal sayıları da 9,10,11 dir. Toplamları da 30 yapar.
x! sayısı 3 tabanında (........abc0000) gibi bir sayıya eşit olur. Yani;
x!=(......abc0000)3 olur.
x!=c.3⁴+ b.3⁵ + a.36+...... şeklindedir.
x!=3⁴.(c+3(b+3a+......)) olur. Burada a,b,c sayıları 3'den küçük birer doğal sayı olduğundan x! sayısı 3⁴'ün katıdır. Ancak 3⁵'in katı değildir. Çünkü 3⁵'in katı olması için "c+3(b+3a+.....)" sayısının 3'ün katı olması gerekir. "c+3(b+3a......)" sayısının 3'ün katı olması içinse c'nin sıfır olması gerekir. Ama c sıfır olamaz; çünkü c sıfır olsaydı, x! sayısının sondan 5 basamağı sıfır olurdu. Bundan dolayı x! sayısı 3⁴'ün katıdır; ama 3⁵'in katı değildir. Bunu sağlayan x doğal sayıları da 9,10,11 dir. Toplamları da 30 yapar.
C.5
Öncelikle soru hakkındaki fikrimi naçizane belirtmek isterim: Bence bu soru sınavlarda sorulmamalı. Çünkü 1 dk.'dan kısa bir sürede bunu cevaplamak oldukça zor. Sorulursa da böyle sorular sınavın mat. kısmının en fazla %10 'unu oluşturmalı. Gelelim çözüme:
Soruda; verilen ifadenin alabileceği en büyük negatif tamsayı değerini alması durumunda a'nın ve b'nin alacağı değerler toplamı soruluyor. En büyük negatif tamsayı -1 olduğuna göre, öncelikle bu ifadeyi -1'e eşitlemeliyiz ve buradan gelen a ve b değerleri var mı, yok mu ona bakmalıyız. Yoksa da daha sonra -2'ye eşitleriz ve bu böyle gider. Başlayalım.
19/a-11/b=-1 olsun.
Payda eşitlenirse şöyle olur:
19b-11a=-ab
19b=11a-ab
19b=a(11-b)
a=19b/(11-b)
a=-19+209/(-b+11)
Buradan iki çözüm çıkar.
Birincisi; a=b=-8
İkincisi; a=-18, b=-198
Buna göre a+b=-16 veya a+b=-216 olur. Ancak soruyu hazırlayanın acemiliğinden olacak; sadece -16'yı vermiş.
Öncelikle soru hakkındaki fikrimi naçizane belirtmek isterim: Bence bu soru sınavlarda sorulmamalı. Çünkü 1 dk.'dan kısa bir sürede bunu cevaplamak oldukça zor. Sorulursa da böyle sorular sınavın mat. kısmının en fazla %10 'unu oluşturmalı. Gelelim çözüme:
Soruda; verilen ifadenin alabileceği en büyük negatif tamsayı değerini alması durumunda a'nın ve b'nin alacağı değerler toplamı soruluyor. En büyük negatif tamsayı -1 olduğuna göre, öncelikle bu ifadeyi -1'e eşitlemeliyiz ve buradan gelen a ve b değerleri var mı, yok mu ona bakmalıyız. Yoksa da daha sonra -2'ye eşitleriz ve bu böyle gider. Başlayalım.
19/a-11/b=-1 olsun.
Payda eşitlenirse şöyle olur:
19b-11a=-ab
19b=11a-ab
19b=a(11-b)
a=19b/(11-b)
a=-19+209/(-b+11)
Buradan iki çözüm çıkar.
Birincisi; a=b=-8
İkincisi; a=-18, b=-198
Buna göre a+b=-16 veya a+b=-216 olur. Ancak soruyu hazırlayanın acemiliğinden olacak; sadece -16'yı vermiş.
Çözümlerimi kontrol ettim; ama -insanlık hali- işlem hatası yapmış olabilirim. Gören arkadaşlar olursa, beni uyarsınlar.
Teşekkür ederim yardımınız için.
Bir şey değil..
Eline sağlık Mat. 