Modüler Aritmetik

Bir sorum var.
Modüler aritmetikte bize verilen denkliklere her türlü işlemi uygulayabiliyor muyuz? Mesela, eşitliklerde klasik olarak eşitliğin her iki tarafını aynı reel sayıyla çarpma,bölme; aynı reel sayıyla toplama, çıkarma yapabiliyoruz. Ya da eşitliğin her iki tarafının aynı reel sayı üssünü alabiliyoruz. Aynı dereceden kökünü alabiliyoruz. Bu işlemlerden hangilerini modüler aritmetikte kullandığımız denkliklerde de kullanabiliyoruz?
Bu soruyu sorma nedenim, soru çözerken ilginç bir durumla karşılaştım.
40.41≡40(mod 100) sağlanıyor. Her tarafı 40'a böldüğümüzde 41≡1(mod 100) oluyor. Bu da yanlış bir sonuç. Ayrıca karşıma 2x≡4 (mod 10) şeklinde bir denklik çıktı. Burada da her tarafı 2'ye böldüm. x≡2 (mod 10) çıktı. Ben de bu eşitliği sağlayan en küçük iki pozitif x değeri 2 ve 12'dir, diye düşündüm. Ama cevaba bakınca bu eşitliğin x=7 olduğunda da sağlandığını gördüm. O zaman biz modüler aritmetikte verilen denkliklerde, başta saydığım işlemleri uygulayamıyor muyuz acaba?

Bir şey fark ettim. Acaba 2x≡4 (mod 10) eşitliğinde her tarafını ikiye bölerken modu da mı ikiye bölüyoruz? Çünkü sorunun cevabı 2 ve 7 olunca ister istemez insanın aklına böyle bir şey geliyor. Ama şimdiye kadar hiçbir yerde de modun da aynı sayıya bölündüğünü görmedim.

tablo yap kesin sonuç verir

Nasıl bir tablo?

üstlerine çizgi koymadım ama kastettiğim bu denklik sınıfları

Dikkat et..! 8.madde de aralarında asal olursa demiş. Yani 40.41≡40(mod 100) bu ifade de 41≡1(mod 100) diye bir şey olamaz. Bu yanlıştır.

40 ile 100 aralarında asal değilki
her ikisaide m ile aralarında asal olmalı

Sağ olun, öğrenmiş oldum. Okulda bu konuyu işledik ama buradan bahsetmedi hocamız. Demek ki bazı şeyleri de biz öğreneceğiz.