Modüler Aritmetik Soruları

1) (2!+3!+4!+...+30!)³⁰ sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?

2) a∈Z⁺ 3^2a+1 + 5^2a+1 + 6^2a+1 + 8^2a+1 + 10^2a+1 ≡ x (mod11) x=?

3) ab iki basamaklı doğal sayı olmak üzere,
ab≡2(mod7)
ab=2(mod13) ise a+b kaçtır?

4) 3¹⁰ + 3¹¹ + 3¹² toplamının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?

5) Z/5 de, 2.x⁴+1=3 denkleminin çözüm kümesi nedir?

C-1

Önce üsteki 30'u görmeden işlem yapalım.

2!+3!+4!+...+30!= x (mod 5)

5! ve sonrası tam bölünecek, 2! 3! ve 4! ile işlem yapalım.
2!+3!+4!=32
32=2 (mod 5)

2³⁰= y (mod 5) arıyoruz.

2¹=2 (mod 5)
2²=4 "
2³=3 "
2⁴=1 "

30=4.7+2

2²=4 (mod 5) olduğundan, (2!+3!+4!+...+30!)³⁰=4 (mod 5) olacak.

C-3

Sayı hem 7'nin bir katı, hem de 13'ün bir katının 2 fazlası olacak.

A=7x+2=13y+2

Her taraftan 2 çıkartalım,

A-2=7x=13y

A-2 sayısı hem 7 nin hem 13'ün katı ise, 7.13=91'in de katı olmalıdır.

A-2=91k

k=1 için

A-2=91
A=93 bulunur.

a+b=12

C-4

3¹⁰+3¹¹+3¹²=x (mod 5)

3¹=3 (mod 5)
3²=4 (mod 5)
3³=2 (mod 5)
3⁴=1 (mod 5)

10=4.2+2
3¹⁰=4 mod 5

11=4.2+3
3¹¹=2 mod 5

12=4.3
12=0 mod 5

4+2+0=x mod 5
6=x mod 5
x=1

c.4)3¹⁰ bakalım mod 5 e göre

3¹=3
3²=4
3³=2
3⁴=1 kalnı verdi
şimdi 3 üzeri 10 u 3 üzeri 4 seklinde yazalım

10/4 2 kere var ve 2 kalanını verir

3⁴(²)*3²=3¹⁰ a

3⁴(²)= 5e bölümündrn kalan 1 oldu
1*3²=4 e eşitti mod 5 egöre
şimdi
3¹¹ ebakalım
gene 3⁴şeklinde yazmalıyız çünkü 3⁴ün kalanı 1

3⁴(²*3³=3¹¹
1*2 olur burada 5 ebölümünden kalan

3¹²=3⁴(³)=buda 0 denk mod 5 e göre

şimdi
3¹⁰+3¹¹+3¹²=4+2=6

6 ninde 5e bölümünden kalan 1 olur

burada yazmak gercekten zor oluyo işlemde hata yapyorum yazarken nese yanlışlık yok heral gökberk eline sağlık görmedim yazdığını çözümler benm pc de gec görünüyo

Sizin de elinize sağlık

bişey değil.

x⁴=1 den sonra x²=1 veya x²=-1≡4.
x²=1 ise x=1 veya x=-1≡4
x²=4 ise x=2 veya x=-2≡3

dolayısıyla x∈{1,2,3,4}.

Çözümlü Modüler Aritmetik Soruları Modüler Aritmetik Sorular ve Çözümleri
Tüm Etiketler