lim
x→∞
(1+
1
x
)x=e
eşitliğinin ispatını nasıldır.
İlk önce limitte şu özelliği bir hatırlayalım. Bu özelliği birazdan kullanacağız.
Şimdi ise x=1/h olarak bir değişken değiştirelim.
O zaman x -> ∞, h->0 dır. O zaman
olacaktır.
eşitliğin her iki tarafın ln nini alabiliriz (ilk yazdığım özellikten).
burada limit bulmaya çalışırsak 0/0 belirsizliği gelecektir. Bunu aşmak için L'Hospital kuralını uygularsak (payı ve paydanın türevini aldıktan sonra limit almaya çalışırsak yani)
f(h)= ln (1+h) için türevi f '(h)
g(h)=h için türevi g '(h)
g '(h)=1 dir
ln a=1 ise a = e dir.
Ayrıca buradaki java uygulamada auto butonuna basarak fonksiyonun e ye yakınsadığını görebiliyoruz.
log [
lim
x→a
f(x)]=
lim
x→a
[log f(x)]
Şimdi ise x=1/h olarak bir değişken değiştirelim.
O zaman x -> ∞, h->0 dır. O zaman
lim
x→∞
(1+
1
x
)x=
lim
h→0
(1+h)1/h
olacaktır.
lim
h→0
(1+h)1/h = a olsun
eşitliğin her iki tarafın ln nini alabiliriz (ilk yazdığım özellikten).
ln
lim
h→0
(1+h)1/h= ln a
lim
h→0
ln (1+h)1/h= ln a
lim
h→0
1
h
. ln (1+h)= ln a
lim
h→0
ln (1+h)
h
= ln a
burada limit bulmaya çalışırsak 0/0 belirsizliği gelecektir. Bunu aşmak için L'Hospital kuralını uygularsak (payı ve paydanın türevini aldıktan sonra limit almaya çalışırsak yani)
f(h)= ln (1+h) için türevi f '(h)
f '(h) =
1
1+h
g(h)=h için türevi g '(h)
g '(h)=1 dir
O zaman
lim
h→0
ln (1+h)
h
=
lim
h→0
f '(h)
g '(h)
=
lim
h→0
1
1+h
=
1
1+0
= 1 = ln a
ln a=1 ise a = e dir.
lim
h→0
(1+h)1/h = a demiştik
lim
h→0
(1+h)1/h = e imiş.
lim
x→∞
(1+
1
x
)x= e dir
Ayrıca buradaki java uygulamada auto butonuna basarak fonksiyonun e ye yakınsadığını görebiliyoruz.
Çok teşekkürler admin.
Başka bir ispat daha var elimde.
Diğer çözümlü sorular alttadır.