1. #1

    Statü
    Grubu
    Üye
    İş
    Üniversite

    Sponsorlu Bağlantılar

    Limit ispat

    lim
    x→∞
    (1+
    1
    x
    )x=e




    eşitliğinin ispatını nasıldır.

  2. #2

    Statü
    Grubu
    Site sahibi
    İş
    Matematik Öğretmeni

    Sponsorlu Bağlantılar

    İlk önce limitte şu özelliği bir hatırlayalım. Bu özelliği birazdan kullanacağız.

    log [
    lim
    x→a
    f(x)]=
    lim
    x→a
    [log f(x)]




    Şimdi ise x=1/h olarak bir değişken değiştirelim.

    O zaman x -> ∞, h->0 dır. O zaman

    lim
    x→∞
    (1+
    1
    x
    )x=
    lim
    h→0
    (1+h)1/h



    olacaktır.

    lim
    h→0
    (1+h)1/h = a olsun



    eşitliğin her iki tarafın ln nini alabiliriz (ilk yazdığım özellikten).


    ln
    lim
    h→0
    (1+h)1/h= ln a



    lim
    h→0
    ln (1+h)1/h= ln a



    lim
    h→0
    1
    h
    . ln (1+h)= ln a



    lim
    h→0
    ln (1+h)
    h
    = ln a



    burada limit bulmaya çalışırsak 0/0 belirsizliği gelecektir. Bunu aşmak için L'Hospital kuralını uygularsak (payı ve paydanın türevini aldıktan sonra limit almaya çalışırsak yani)

    f(h)= ln (1+h) için türevi f '(h)
    f '(h) =
    1
    1+h



    g(h)=h için türevi g '(h)
    g '(h)=1 dir

    O zaman
    lim
    h→0
    ln (1+h)
    h
    =
    lim
    h→0
    f '(h)
    g '(h)
    =
    lim
    h→0
    1
    1+h
    =
    1
    1+0
    = 1 = ln a



    ln a=1 ise a = e dir.


    lim
    h→0
    (1+h)1/h = a demiştik



    lim
    h→0
    (1+h)1/h = e imiş.




    lim
    x→∞
    (1+
    1
    x
    )x= e dir



    Ayrıca buradaki java uygulamada auto butonuna basarak fonksiyonun e ye yakınsadığını görebiliyoruz.

  3. #3

    Statü
    Grubu
    Üye
    İş
    Üniversite

    Sponsorlu Bağlantılar

    Çok teşekkürler admin.

  4. #4

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Matematik Öğretmeni
    Başka bir ispat daha var elimde.

Diğer çözümlü sorular için alttaki linkleri ziyaret ediniz


 

  • Bu yazıyı beğenerek
    destek
    verebilirsiniz

    Foruma üye olmana gerek yok! Facebook hesabınla yorumlarını bekliyoruz!
  • Benzer konular

    1. Limit İspat Sorusu
      escasmu, bu konuyu "Özel matematik soruları" forumunda açtı.
      : 1
      : 02 Kas 2013, 21:57
    2. limit ispat(acil cevap)
      *arife, bu konuyu "Özel matematik soruları" forumunda açtı.
      : 2
      : 08 Şub 2013, 15:32
    3. limit- dizi limit
      eğitimkoyunu, bu konuyu "12. sınıf matematik soruları" forumunda açtı.
      : 1
      : 20 May 2012, 22:03
    4. limit ispat
      bambam3, bu konuyu "Özel matematik soruları" forumunda açtı.
      : 8
      : 12 Ara 2011, 14:44
    5. Limit ispat
      tototamuz, bu konuyu "Özel matematik soruları" forumunda açtı.
      : 2
      : 21 Eki 2011, 01:12
    Forum Kullanım ve Gizlilik Kuralları