1. #1

    Grubu
    Üye
    İş
    Üniversite

    Limit ispat

    lim
    x→∞
    (1+
    1
    x
    )x=e




    eşitliğinin ispatını nasıldır.

  2. #2

    Grubu
    Site sahibi
    İş
    Matematik Öğretmeni
    İlk önce limitte şu özelliği bir hatırlayalım. Bu özelliği birazdan kullanacağız.

    log [
    lim
    x→a
    f(x)]=
    lim
    x→a
    [log f(x)]




    Şimdi ise x=1/h olarak bir değişken değiştirelim.

    O zaman x -> ∞, h->0 dır. O zaman

    lim
    x→∞
    (1+
    1
    x
    )x=
    lim
    h→0
    (1+h)1/h



    olacaktır.

    lim
    h→0
    (1+h)1/h = a olsun



    eşitliğin her iki tarafın ln nini alabiliriz (ilk yazdığım özellikten).


    ln
    lim
    h→0
    (1+h)1/h= ln a



    lim
    h→0
    ln (1+h)1/h= ln a



    lim
    h→0
    1
    h
    . ln (1+h)= ln a



    lim
    h→0
    ln (1+h)
    h
    = ln a



    burada limit bulmaya çalışırsak 0/0 belirsizliği gelecektir. Bunu aşmak için L'Hospital kuralını uygularsak (payı ve paydanın türevini aldıktan sonra limit almaya çalışırsak yani)

    f(h)= ln (1+h) için türevi f '(h)
    f '(h) =
    1
    1+h



    g(h)=h için türevi g '(h)
    g '(h)=1 dir

    O zaman
    lim
    h→0
    ln (1+h)
    h
    =
    lim
    h→0
    f '(h)
    g '(h)
    =
    lim
    h→0
    1
    1+h
    =
    1
    1+0
    = 1 = ln a



    ln a=1 ise a = e dir.


    lim
    h→0
    (1+h)1/h = a demiştik



    lim
    h→0
    (1+h)1/h = e imiş.




    lim
    x→∞
    (1+
    1
    x
    )x= e dir



    Ayrıca buradaki java uygulamada auto butonuna basarak fonksiyonun e ye yakınsadığını görebiliyoruz.

  3. #3

    Grubu
    Üye
    İş
    Üniversite
    Çok teşekkürler admin.

  4. #4

    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Matematik Öğretmeni
    Başka bir ispat daha var elimde.

Diğer çözümlü sorular için alttaki linkleri ziyaret ediniz


 

  1. Bu yazıyı beğenerek
    destek
    verebilirsiniz

    Foruma üye olmana gerek yok! Facebook hesabınla yorumlarını bekliyoruz!

Benzer konular

  1. Limit İspat Sorusu
    escasmu bu konuyu Özel matematik soruları forumunda açtı
    Cevap: 1
    Son mesaj : 02 Kas 2013, 23:57
  2. limit ispat(acil cevap)
    *arife bu konuyu Özel matematik soruları forumunda açtı
    Cevap: 2
    Son mesaj : 08 Şub 2013, 17:32
  3. limit- dizi limit
    eğitimkoyunu bu konuyu 12. sınıf matematik soruları forumunda açtı
    Cevap: 1
    Son mesaj : 21 May 2012, 00:03
  4. limit ispat
    bambam3 bu konuyu Özel matematik soruları forumunda açtı
    Cevap: 8
    Son mesaj : 12 Ara 2011, 16:44
  5. Limit ispat
    tototamuz bu konuyu Özel matematik soruları forumunda açtı
    Cevap: 2
    Son mesaj : 21 Eki 2011, 03:12
Forum Kullanım ve Gizlilik Kuralları