limx→∞(1+1x)x=e
eşitliğinin ispatını nasıldır.
Yazdırılabilir görünüm
limx→∞(1+1x)x=e
eşitliğinin ispatını nasıldır.
İlk önce limitte şu özelliği bir hatırlayalım. Bu özelliği birazdan kullanacağız.
log [limx→af(x)]=limx→a[log f(x)]
Şimdi ise x=1/h olarak bir değişken değiştirelim.
O zaman x -> ∞, h->0 dır. O zaman
limx→∞(1+1x)x=limh→0(1+h)1/h
olacaktır.
limh→0(1+h)1/h = a olsun
eşitliğin her iki tarafın ln nini alabiliriz (ilk yazdığım özellikten).
lnlimh→0(1+h)1/h= ln a
limh→0ln (1+h)1/h= ln a
limh→01h. ln (1+h)= ln a
limh→0ln (1+h)h= ln a
burada limit bulmaya çalışırsak 0/0 belirsizliği gelecektir. Bunu aşmak için L'Hospital kuralını uygularsak (payı ve paydanın türevini aldıktan sonra limit almaya çalışırsak yani)
f(h)= ln (1+h) için türevi f '(h)
f '(h) =11+h
g(h)=h için türevi g '(h)
g '(h)=1 dir
O zamanlimh→0ln (1+h)h=limh→0f '(h)g '(h)=limh→011+h=11+0= 1 = ln a
ln a=1 ise a = e dir.
limh→0(1+h)1/h = a demiştik
limh→0(1+h)1/h = e imiş.
limx→∞(1+1x)x= e dir
Ayrıca buradaki java uygulamada auto butonuna basarak fonksiyonun e ye yakınsadığını görebiliyoruz.
Çok teşekkürler admin.
Başka bir ispat daha var elimde.:cool: