lim

x→∞

(1+

1

x

)^x=e

eşitliğinin ispatını nasıldır.

İlk önce limitte şu özelliği bir hatırlayalım. Bu özelliği birazdan kullanacağız.

log [

lim

x→a

f(x)]=

lim

x→a

[log f(x)]

Şimdi ise x=1/h olarak bir değişken değiştirelim.

O zaman x -> ∞, h->0 dır. O zaman

lim

x→∞

(1+

1

x

)^x=

lim

h→0

(1+h)^1/h

olacaktır.

lim

h→0

(1+h)^1/h = a olsun

eşitliğin her iki tarafın ln nini alabiliriz (ilk yazdığım özellikten).

ln

lim

h→0

(1+h)^1/h= ln a

lim

h→0

ln (1+h)^1/h= ln a

lim

h→0

1

h

. ln (1+h)= ln a

lim

h→0

ln (1+h)

h

= ln a

burada limit bulmaya çalışırsak 0/0 belirsizliği gelecektir. Bunu aşmak için L'Hospital kuralını uygularsak (payı ve paydanın türevini aldıktan sonra limit almaya çalışırsak yani)

f(h)= ln (1+h) için türevi f '(h)

f '(h) =

1

1+h

g(h)=h için türevi g '(h)
g '(h)=1 dir

O zaman

lim

h→0

ln (1+h)

h

=

lim

h→0

f '(h)

g '(h)

=

lim

h→0

1

1+h

=

1

1+0

= 1 = ln a

ln a=1 ise a = e dir.

lim

h→0

(1+h)^1/h = a demiştik

lim

h→0

(1+h)^1/h = e imiş.

lim

x→∞

(1+

1

x

)^x= e dir

Ayrıca buradaki java uygulamada auto butonuna basarak fonksiyonun e ye yakınsadığını görebiliyoruz.

Çok teşekkürler admin.

Başka bir ispat daha var elimde.:cool: