Bir ispat sorusu

x²+y+2 ve y²+4x ifadelerinin ikisini birden tam kare yapan pozitif x ve y tam sayılarının olmadığını gösteriniz.

Bir çözüm çıkabilir, bekleyelim...

bu soru da gorundugunden cok basit . ugrasanlar olursa cozuleceginden eminim.

Hocam ben vakti zamanında uğraştım ama olmadı çözümü yazsanız veya ipucu verseniz

bu sorunun cevaplanmadigini unutmusum yoksa bu kadar sure cevapsiz birakmazdim. su an evde degilim musait oldugumda (gerci bu aralar pek musait de olamiyorum) ya da evden baglandigimda cevap yazmaya calisirim.
ipucu olarak da (ve bu tur sorularin buyuk cogunlugunun) cozumunde bu sayinin ardisik iki karenin arasina dustugunu gostermeye calisabilirsiniz diyeyim.

Vakit bulursam bir çözüm yazacağım.

simdi soru ne diyormus diye baktim nasil cozdugumu hatirlamiyorum desem gulmezsiniz ins
cozmezseniz bi kalem kagit alip tekrardan cozumu bulmaya ugrascam.

neyse sorun halledilmistir cozumu hatirladim.
tekrar unutmadan bi yerlere yazmak lazim

Bilgi kayıt altına alınmazsa veya buna denk olarak akla gelen bir şey yazılmazsa insan unutulabiliyor, bu bir vakıa.

Benim çözüm şöyle:
x²+y+2 ile y²+4x 'i aynı anda tam kare yapabilen x ve y tamsayıları var olsun.
x² 'den büyük olan en küçük tam kare (x+1)² 'dir ki, (x+1)²≤x²+y+2 muhtemel olarak yazılabilir. Buradan 2x≤y+1 elde edilir.
Aynı mantıkla (y+1)²≤y²+4x --> y+(1/2)≤2x yazılabilir.
Birleştirirsek;
y+(1/2)≤2x≤ y+1 (*) eşitsizliğinde sağ taraftan y=2x olabileceği düşünülebilir. Fakat sol taraftan bunun olamayacağı görünür. Buna göre, (*) aralığında tamsayı olabilecek bir 2x yoktur, dolayısıyla x de yoktur. Yâni 2x, olabilecek maksimum seviyede (çünkü küçükeşit kabul ettik) tamsayı olamayacağı bir intervalde.

Benzer olarak;
2x-1≤y≤2x-(1/2) aralığında da bir y tamsayısı yoktur. O zaman kabulümüz yanlıştır. Her iki ifadeyi de tam sayı yapabilecek x ve y tam sayıları yoktur.

elinize saglik hocam.