1. #1

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer

    Sponsorlu Bağlantılar

    Tamsayı çözümlü denklemler - 1

    (IberoAmerican MO 1985/1)

    a+b+c=24
    a²+b²+c²=210
    abc=440

    denklemini tamsayılar kümesinde çözünüz.

  2. #2

    Statü
    Grubu
    Üye
    İş
    Diğer

    Sponsorlu Bağlantılar

    burada gerekli a,b,c üçlülerinin -15 ve 15 aralığında olması gerektiği bellidir abc=440 ise bunu sağlayan herbiri 15 ten küçük üçlüler (5,8,11) , (4,10,11) dir.ancak burada a+b+c= 24 ve a^2+b^2+c^2 =210 eşitliğini sağlayan tek üçlü (5,8,11)dir

  3. #3

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer

    Sponsorlu Bağlantılar

    evet bu denklemin çözümü (5,8,11) 3 lüsünün oluşturduğu 6 permutasyondur ama çözümünüz çok fazla deneme yanılma ya da kaba kuvvet içeriyor.

  4. #4

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Matematik Öğretmeni
    Nizâmî olarak şöyle yapabiliriz:


    Not:
    x3+183x=24x2+440 da x=-x için
    -x3-183x=24x2+440 olduğundan negatif kök yoktur.

  5. #5

    Statü
    Grubu
    Üye
    İş
    Diğer
    aslında şöyle düşünmüştüm 440ın 15 ten küçük pozitif veya negatif tam sayı bölenleri nelerdir bunun da 2,4,5,8,11 olduğunu gördüm buradan da toplamı 24 yapan üçlünün 5 8 11 olduğunu buldum a^2+ b^2 +c^2=210 denklemini de verince çözümün bu olduğunu yazdım daha estetik bir çözümü varsa yazmanızı rica ederim

  6. #6

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer
    evet ben daha değişik bir çözüm düşünmüştüm ama Cem hocamızın çözümü de beklenen bir çözümü olabilir. (soruyu aldığım yerde çözüm olmadığı için bilemiyorum)

    öncelikle sayılardan ya 0 ya da 2 tanesinin negatif olabileceini görüyoruz.
    2 tanesi negatif olsaydı toplamları 24 olduğundan pozitif olan >24 olurdu ve kareler toplamı 210 u geçerdi , tüm sayıların pozitif olduğunu belirledik.
    toplamları 24≡0 (mod3) olduğuna göre a≡b≡c (mod3)
    çarpımları da 440 olduğuna göre a≡b≡c≡2 (mod3)
    bundan sonra 3 modunda 2 olan sayılara bakıp (5,8,11) çözümüne karelerini 210 u geçmdiğini falan kullanıp ulaşabiliriz sanırım.

    not: kabul ediyorum yaptığım çözüm kısa değil ama bunun nedeni sorudaki sayıların denm yanılmaya çok elverişli şekilde ufak ve çözümü gösterir nitelikte olması diye düşünüyorum. ayrıca soru olimpiyatın 1. sorusuymuş bu yüzden zor olmamasını normal karşılamak lazım.


 

  • Bu yazıyı beğenerek
    destek
    verebilirsiniz

    Foruma üye olmana gerek yok! Facebook hesabınla yorumlarını bekliyoruz!
  • Benzer konular

    1. faktoriyel VE TAMSAYI
      şadiye33, bu konuyu "12. sınıf matematik soruları" forumunda açtı.
      : 1
      : 01 Ara 2013, 13:54
    2. Birinci Dereceden Denklemler (Çözümlü Örnekler - 7 tane)
      svsmumcu26, bu konuyu "Çözümlü Matematik Soruları" forumunda açtı.
      : 4
      : 07 Eyl 2012, 11:56
    3. sonsuz çözümlü denklemler
      tubicik, bu konuyu "9. sınıf matematik soruları" forumunda açtı.
      : 27
      : 11 Ağu 2012, 14:12
    4. Bir sayının pozitif ve tamsayı bölenlerinin sayısı formülü
      matci, bu konuyu "Matematik Formülleri" forumunda açtı.
      : 2
      : 01 Nis 2012, 08:14
    5. pozitif tamsayı bölen sorusu
      yuzarsif, bu konuyu "9. sınıf matematik soruları" forumunda açtı.
      : 1
      : 08 Şub 2011, 21:13
    Forum Kullanım ve Gizlilik Kuralları