Tamsayı çözümlü denklemler - 1

(IberoAmerican MO 1985/1)

a+b+c=24
a²+b²+c²=210
abc=440

denklemini tamsayılar kümesinde çözünüz.

burada gerekli a,b,c üçlülerinin -15 ve 15 aralığında olması gerektiği bellidir abc=440 ise bunu sağlayan herbiri 15 ten küçük üçlüler (5,8,11) , (4,10,11) dir.ancak burada a+b+c= 24 ve a^2+b^2+c^2 =210 eşitliğini sağlayan tek üçlü (5,8,11)dir

evet bu denklemin çözümü (5,8,11) 3 lüsünün oluşturduğu 6 permutasyondur ama çözümünüz çok fazla deneme yanılma ya da kaba kuvvet içeriyor.

Nizâmî olarak şöyle yapabiliriz:

https://img9.imageshack.us/img9/5909/mat31082011.jpg
Not:
x³+183x=24x²+440 da x=-x için
-x³-183x=24x²+440 olduğundan negatif kök yoktur.

aslında şöyle düşünmüştüm 440ın 15 ten küçük pozitif veya negatif tam sayı bölenleri nelerdir bunun da 2,4,5,8,11 olduğunu gördüm buradan da toplamı 24 yapan üçlünün 5 8 11 olduğunu buldum a^2+ b^2 +c^2=210 denklemini de verince çözümün bu olduğunu yazdım daha estetik bir çözümü varsa yazmanızı rica ederim

evet ben daha değişik bir çözüm düşünmüştüm ama Cem hocamızın çözümü de beklenen bir çözümü olabilir. (soruyu aldığım yerde çözüm olmadığı için bilemiyorum)

öncelikle sayılardan ya 0 ya da 2 tanesinin negatif olabileceini görüyoruz.
2 tanesi negatif olsaydı toplamları 24 olduğundan pozitif olan >24 olurdu ve kareler toplamı 210 u geçerdi , tüm sayıların pozitif olduğunu belirledik.
toplamları 24≡0 (mod3) olduğuna göre a≡b≡c (mod3)
çarpımları da 440 olduğuna göre a≡b≡c≡2 (mod3)
bundan sonra 3 modunda 2 olan sayılara bakıp (5,8,11) çözümüne karelerini 210 u geçmdiğini falan kullanıp ulaşabiliriz sanırım.

not: kabul ediyorum yaptığım çözüm kısa değil ama bunun nedeni sorudaki sayıların denm yanılmaya çok elverişli şekilde ufak ve çözümü gösterir nitelikte olması diye düşünüyorum. ayrıca soru olimpiyatın 1. sorusuymuş bu yüzden zor olmamasını normal karşılamak lazım.