1. #1
    levent şimşek
    Ziyaretçi

    Sponsorlu Bağlantılar

    bölünebilme ispat sorusu

    n doğal sayı ve n>1 için
    2n-1 sayısının n ile bölünemeyeceğini gösteriniz

    n çift olunca bölünmeyeceği gayet açık fakat n tek olunca kısmını birtürlü yapamadım mod denedim olmadı yada başka bir yolmu var yardımlarınız için şimdiden teşekkürler iyi çalışmalar...

  2. #2

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Matematik Öğretmeni

    Sponsorlu Bağlantılar

    2=1+1

    2n=(1+1)n=1+C(n,1)+C(n,2)+C(n,3)+ . . . +C(n,n-2)+C(n,n-1)+1 (Binom açılımı)

    2n-1=1+[C(n,1)+C(n,2)+C(n,3)+ . . . +C(n,n-2)+C(n,n-1)]

    Köşeli parantez içindeki her terim n çarpanı barındırdığı için n ile bölünebilir. Buna n*K dersek

    2n-1=1+n*K

    1 kendinden başka hiçbir sayı ile bölünemeyeceği için n>1 için (2n-1) n ile bölünemez.

  3. #3

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer

    Sponsorlu Bağlantılar

    hocam parantezin içindeki herbir sayının n ile bölünebiliyo olması her zaman doğru olmaz.
    örneğin C(6,3) , 6 ile bölünmez ya da C(9,3) de 9 ile bölünmez

    zaten böyle birşey olsaydı her n için
    2n≡2 (mod n) olurdu

  4. #4

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer
    ben şöyle düşünmüştüm
    n tek olmak zorundadır bunu görüyoruz
    n sayısı sorudaki koşula uyan en küçük sayı olsun yani
    2n≡1 (modn)

    k sayısı ise 2k≡1 (modn) denkliğini sağlayan en küçük sayı olsun.
    öyleyse k|n olmalıdır.
    öyleyse 2k≡1 (modk) olur , k≠n ise bu durum n sayısının seçimiyle çelişir
    yani k=n dir.

    Euler Teoreminden biliyoruzki (n,2)=1 olduğundan (n tek olduğundan)
    2φ(n)≡1 (modn)

    φ(n)<n=k olduğuna göre bu da k sayısının seçimiyle çelişir çünkü k yı bu denkliği n modunda sağlayabilen en küçük sayı olarak seçmiştik.

    sonuçta bu şekilde bir n sayısı yoktur.

  5. #5

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Matematik Öğretmeni
    zaten böyle birşey olsaydı her n için
    2n≡2 (mod n) olurdu
    Doğru. Bu sorunun çok güzel bir ispatı vardı ama neydi Düşündüğünüz yöntem de doğrudur ama daha doğrudan bir ispatı vardı. Hatırlayınca mutlaka yazacağım.

  6. #6

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Matematik Öğretmeni
    sabri bey yaptığınız ispatta anlayamadığım iki nokta var açıklayabilirseniz sevinirim.
    1.si
    n sayısı sorudaki koşula uyan en küçük sayı olsun yani
    bu ifadeden biran için 2n-1 ifadesini bölen bir n sayısının olduğunumu varsayıyoruz?

    2.si

    k sayısı ise 2k≡1 (modn) denkliğini sağlayan en küçük sayı olsun.
    öyleyse k|n olmalı
    n tek sayı olduğundan
    2k≡1 (modn)şartını sağlayan en küçük k sayısı k=0 değilmi bu durum varken nasıl k bu şartı sağlayan en küçük sayı olsun seçimini yaptık? ayrıca neden k|n olmalı?
    yazdıklarımda bir hata varsa nedir?
    açıklamalarınız için şimdiden tesekkürler

  7. #7

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer
    ilk sorunuza gelirsek evet böyle bir sayının var olduğundan hareket edip çelşiki elde etmeye çalışıyoruz
    bu koşula uyan en küçük doğal sayıyı ele alıyoruz (iyi sıralama ilkesi gereğince eğer böyle sayılar varsa bi tanesi bunlardan en küçük olanıdır)

    şu an 2n≡1 (modn) noktsındayız

    ayrıca 2 ile n in aralarında asal lması gerektiğii tespit ediyoruz ve diyoruzki k da
    2k≡1 (modn) denkliği sağlayan en küçük sayı olsun (tabi ki sıfır hariç)

    2n≡2k≡1 (modn) olduğuna göre

    0≤b<k olacak şekilde
    n=ak+b şekilliği olduğunda
    2ak+b=(2k)a.2b≡1 (modn)
    1a.2b≡1 (modn)
    2b≡1 (modn)

    b<k olduğuna göre b=0 olmalıdır aksi takdide k sayısının en küçük olarak seçimiyle çelişir.

    buradan n=ak olur yani k|n

    şimdi k modunda 2k sayısına bakarsak 1 e denk olduğunu görürüz buradan k nın da sorudaki koşulu sağlayan bir sayı olduğu ortaya çıkar ve k|n dir.
    demekki k=n dir. (küçük olsa n nin seçimiyle çelişir)

    yukarıdaki bölme mantığını kullanarak k|φ(n) olduğunu da gösterebiliriz ama bu mümkün değildir çünkü φ(n)<k=n

    sonuç olarak en baştaki varsayımımız yanlıştır yani böyle bir n sayısı yoktur.


 

  • Bu yazıyı beğenerek
    destek
    verebilirsiniz

    Foruma üye olmana gerek yok! Facebook hesabınla yorumlarını bekliyoruz!
  • Benzer konular

    1. İspat sorusu
      utku_2178, bu konuyu "Özel geometri soruları" forumunda açtı.
      : 1
      : 26 Mar 2014, 11:55
    2. Bir ispat sorusu
      sentetikgeo, bu konuyu "Özel matematik soruları" forumunda açtı.
      : 17
      : 28 Oca 2013, 22:12
    3. Bir ispat sorusu
      gereksizyorumcu, bu konuyu "Özel matematik soruları" forumunda açtı.
      : 13
      : 27 Eki 2011, 22:46
    4. bir ispat sorusu
      mert07, bu konuyu "Özel matematik soruları" forumunda açtı.
      : 10
      : 06 May 2011, 00:23
    5. İspat Sorusu
      Alparslan Doğan, bu konuyu "Özel matematik soruları" forumunda açtı.
      : 2
      : 11 Mar 2011, 01:30
    Forum Kullanım ve Gizlilik Kuralları