gereksizyorumcu 09:35 20 Ara 2010 #1
Anasayfa zeka soruları altında yayınlanan Büyük çocuğun yaşını bulun? adlı soru için henüz erken olsa da çözüm yazmak istiyorum. Soruya uğraşmak istyenler çözümü okumayıp soruyla uğraşmaya devam edebilirler.
gereksizyorumcu 09:47 20 Ara 2010 #2
Çocukların yaşları a,b, ve c olsun
herbiri 1 den büyük olduğundan ve her biri diğer ikisinin çarpımının 1 fazlasını tam böldüğünden bu sayılar ikişerli olarak aralarında asaldır.
bu noktadan sonra genelliği bozmadan
2≤a<b<c diyebiliriz.
T=ab+bc+ac+1 olsun
a|T , b|T ve c|T olduğu açıktır.
sayılarımız ikişerli olarak aralarında asal olduğundan
abc|T ve sonuç olarak abc≤T olur.
a sayısının 2 den büyükeşit olmasını dikkate alarak b nin 3 ten büyükeşit olduğunu söyleyebiliriz.
biz 4≤b durumunu öncelikle inceleyelim
bu durumda 5≤c olmalıdır.
2.4.5=40≤abc olur.
T=ab+bc+ac+1=(abc/c)+(abc/a)+(abc/b)+1≤(abc/5)+(abc/2)+(abc/4)+1
payda eşitlenip toplanırsa
T≤(38abc/40)+1=abc-(abc/20)+1 , burada da abc nin en küçük değeri olan 40 sayısını bile yerine koysak
T≤abc-(abc/20)+1≤abc-40/20+1=abc-1<abc sonucunu buluruz
en başta bulduğumuz abc<T ile çeliştiğine göre b 4 ten büyük olamaz
b için tek değer kalıyor b=3 için inceleme yapalım
b=3 ise , a=2
ve c|(2.3+1) koşulu sağlanması gerektiğinden c=1 veya 7 ve a<b<c kabulümüzden dolayı da c=7 olmalıdır.
sorumuzun koşuluna uyan tek durum vadır o da (2,3,7).
herbiri 1 den büyük olduğundan ve her biri diğer ikisinin çarpımının 1 fazlasını tam böldüğünden bu sayılar ikişerli olarak aralarında asaldır.
bu noktadan sonra genelliği bozmadan
2≤a<b<c diyebiliriz.
T=ab+bc+ac+1 olsun
a|T , b|T ve c|T olduğu açıktır.
sayılarımız ikişerli olarak aralarında asal olduğundan
abc|T ve sonuç olarak abc≤T olur.
a sayısının 2 den büyükeşit olmasını dikkate alarak b nin 3 ten büyükeşit olduğunu söyleyebiliriz.
biz 4≤b durumunu öncelikle inceleyelim
bu durumda 5≤c olmalıdır.
2.4.5=40≤abc olur.
T=ab+bc+ac+1=(abc/c)+(abc/a)+(abc/b)+1≤(abc/5)+(abc/2)+(abc/4)+1
payda eşitlenip toplanırsa
T≤(38abc/40)+1=abc-(abc/20)+1 , burada da abc nin en küçük değeri olan 40 sayısını bile yerine koysak
T≤abc-(abc/20)+1≤abc-40/20+1=abc-1<abc sonucunu buluruz
en başta bulduğumuz abc<T ile çeliştiğine göre b 4 ten büyük olamaz
b için tek değer kalıyor b=3 için inceleme yapalım
b=3 ise , a=2
ve c|(2.3+1) koşulu sağlanması gerektiğinden c=1 veya 7 ve a<b<c kabulümüzden dolayı da c=7 olmalıdır.
sorumuzun koşuluna uyan tek durum vadır o da (2,3,7).
kontdragon333 15:19 20 Ara 2010 #3
T≤(38abc/40)+1=abc-(abc/20)+1
bu eşitliğin sağ tarafı nerden geldi anlayamadım...
bu eşitliğin sağ tarafı nerden geldi anlayamadım...
gereksizyorumcu 16:13 20 Ara 2010 #4
2≤a , 4≤b , 5≤c durumunu inceliyoruz
T=ab+bc+ac+1 demiştik
ab=abc/c≤abc/(c nin min değeri)=abc/5
bc=abc/a≤abc/2
ac=abc/b≤abc/4
abc/5+abc/4+abc/2 payda eşitlenip toplanırsa
19abc/20 bulunuyor
ya da abc-abc/20
yani
T≤abc-(abc/20)+1
daha yukarıda da abc nin en az 40 olduğunu bulmuştuk zaten onu da (abc/20) de yerine yazdığımızda
T≤abc-2+1=abc-1 buluyoruz ki bu abc nin T yi bölmesiyle çelişiyor.
T=ab+bc+ac+1 demiştik
ab=abc/c≤abc/(c nin min değeri)=abc/5
bc=abc/a≤abc/2
ac=abc/b≤abc/4
abc/5+abc/4+abc/2 payda eşitlenip toplanırsa
19abc/20 bulunuyor
ya da abc-abc/20
yani
T≤abc-(abc/20)+1
daha yukarıda da abc nin en az 40 olduğunu bulmuştuk zaten onu da (abc/20) de yerine yazdığımızda
T≤abc-2+1=abc-1 buluyoruz ki bu abc nin T yi bölmesiyle çelişiyor.
MatematikciFM 21:32 20 Ara 2010 #5
Sayın gereksizyorumcu, öncelikle bu ispatı bizimle paylaştığınız için teşekkür ederim. Ben de ispatlamaya çalıştım ama işin içinden çıkamadım. Bu ispatın özünde , T=ab+bc+ac+1 sayısının yazılabilmesi yatıyor. İspat çok güzelmiş. https://www.matematiktutkusu.com/for...mo1970-s4.html (IMO1970-s4) linkinde sorduğunuz soruda n lerin var olmadığını ben de ispatladığımı zannediyorum. Biraz sonra ispatımı oraya yazıcam. Bu ispatı kendiniz yaptıysanız sizi tebrik ediyorum. Bu arada
https://www.matematiktutkusu.com/for...ma-sorusu.html (5 Tane Sayma Sorusu) linkindeki 1.soruyu siz fibonacci dizisinden 89 bulmuşsunuz. Ben kombinasyondan 124 buldum. Çözümümü bir kontrol eder misiniz? Hatam nerde?
https://www.matematiktutkusu.com/for...ma-sorusu.html (5 Tane Sayma Sorusu) linkindeki 1.soruyu siz fibonacci dizisinden 89 bulmuşsunuz. Ben kombinasyondan 124 buldum. Çözümümü bir kontrol eder misiniz? Hatam nerde?
MatematikciFM 00:43 21 Ara 2010 #6
Bu arada birşeyi daha belirtmek istiyorum. O günden beri kafamı meşgul eden bir soru vardı? Bu sorunun deve sorusu ile tam olarak ne ilşkisi var diye. İlişkiyi ispatınızı gördükten sonra anladım. Orada sayılar çarpımının 1 fazlası, sayılara bölünüyordu. Bu soruda ise, 3 sayıdan herbiri çarpımlarının 1 fazlasını tam böler. Bu da ispatın temelini teşkil ediyor. İspattaki T sayısı a.b.c ye yani 42 ye eşit.
Diğer çözümlü sorular alttadır.