a,b,c pozitif reel sayı ve a+b+c=7 ise √a+√b+√c en fazla kaçtır?
a,b,c pozitif reel sayı ve a+b+c=7 ise √a+√b+√c en fazla kaçtır?
(√a-1)²+(√b-1)²+(√c-1)²≥0
Böyle yapinca cevap 5 çikiyor.
Ancak parantezlerin icine yazdigimiz 1 yere baska sayilar yazinca cevap buyuyor veya kuculuyor.Bir yerde mantik hatasimi yapiyorum,bilmiyorum?
a²+b²+c² = 7 a+b+c nin maksimum değeri sorulmuş olsun. Sayılar pozitif olduğundan bunu yapabiliriz sanırım.
(a+b+c)²= a²+b²+c²+2(ab+ac+bc) eşitliğini kullanalım. a+b+c nin maksimum değeri için bu ifadenin karesi de bir maksimum değere ulaşır.
a²+b²+c²=7 verilmiş. şimdi (ab+ac+bc) ifadesinin maksimum değerini bulmaya çalışalım.
Aritmetik orta geometrik ortadan her zaman büyük (veya eşit) olduğundan,
a²+b²≥2ab
a²+c²≥2ac
b²+c²≥2bc
yazılabilir. Şimdi bu eşitsizlikleri toplayalım.
2(a²+b²+c²)≥2(ab+ac+bc)
elde ederiz. ab+ac+bc ifadesinin maksimum değerinin 7 olduğunu görebiliriz. Bu durumun yalnızca a=b=c=7/3 olduğunda gerçekleştiğini belirtelim.
(a+b+c)²= a²+b²+c²+2(ab+ac+bc) ifadesine dönersek;
(a+b+c)² ifadesinin maksimum değerinin 21 olduğunu görebiliriz.
O halde a+b+c veya orijinalde verilen şekli ile √a+√b+√c=√21 buluruz.
(√a-1)²+(√b-1)²+(√c-1)²≥0
a-2√a+1+b+2√b+1+c+2√c+1≥0
a+b+c+1+1+1≥2√a+2√b+2√c
10≥2√a+2√b+2√c
5≥√a+√b+√c
Bu işleme göre en fazla 5 oluyor.
(√a-1/2)²+(√b-1/2)²+(√c-1/2)²≥0
a-√a+1/4+b-√b+1/4+c-√c+1/4≥0
a+b+c+1/4+1/4+1/4≥√a+√b+√c
31/4≥√a+√b+√c
Böyle alınca cevap daha da büyüyor.Bir yerde hata mı var?Bilmiyorum.
Bir yerde hata yok hocam 5 her zaman köka+kökb+kökc den büyük gerçekten ama bu köka+kökb+kökc ifadesinin 5 değerini alabileceği anlamına gelmez. Bir yerine işlemi kök(7/3) yazarak yaparsanız en küçük sonucu elde edersiniz. O da zaten cevaptır.
Dogru soyluyorsunuz.Soruyu ilk basta bende sizin gibi cozmustum.Daha sonra biraz daha kurcalayinca kafam karismis.Cok basit bir yeri gorememisim.
Mobil gönderim
Foruma üye olmana gerek yok! Facebook hesabınla yorumlarını bekliyoruz!