sayılar konusunda sorular

1)n! sayısinin 6 tane asal böleni olduğuna göre,n'nin alabilecegi degerler toplami kactir?
2)3n³-5n²-4n-2 sayisinin n-2ye bölünmesini sağlayan tüm n tamsayilarini bulunuz.
3)19n+11/4n+5 kesrinin tamsayi olmasini sağlayan tüm n tamsayilarini bulunuz.
4)1997 sayisinin ikiden fazla ardisik pozitif tamsayinin toplami seklinde gösterilemeyecegini kanıtlayiniz.
5)x,y∈N olmak üzere x²=29+4y² ise x-y kaçtır?

C-5
x^2-4y^2=29
(x-2y).(x+2y)=29
x-2y=1
x+2y=29
2x=30 => x=15 , y=7 bulunur. x-y=15-7 => 8 bulunur.

C-5

x²=29+4y²
x²-4y²=29
(x-2y)(x+2y)=29
x,y sıfır ya da pozitif olduğundan x+2y>x-2y'dir ve 29'un çarpanları 1 ve 29'dur.
x-2y=1
x+2y=29
2x=30
x=15
y=7
x-y=8
İyi günler.

C-1

İlk 6 asal sayı 2,3,5,7,11,13'tür.
Buna göre n 13, 14, 15, 16 değerlerini alabilir. n 17 değerini alamaz; çünkü o zaman 7 tane asal böleni olur.
İyi günler.

C-2

3n³-5n²-4n-2'yi n-2'ye bölerseniz (3n²+n-2)-6/(n-2) elde edilir.
Buna göre n-2, 6'nın bölenlerinden olmalıdır.
n-2; -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 değerlerini alabilir.
Buradan n değerleri -4, -1, 0, 1, 3, 4, 5, 8 çıkar.
İyi günler.

3) obeb (19n+11 , 4n+5)=(-n-14 , 4n+5)=(-51 , 4n+5)=1,3,17,51 olabilir
4n+5 alabileceği değerler 1,3,17,51, -1, -3, -17, -51
denerseniz n=-1, -2,3,-14 olabilir

4) n>2 için ve (x +1) negatif olmayan tamsayı olsun
(x+1)+(x+2)+...+(x+n )=1997 olacak şekilde n tane ardışık sayı olduğunu varsayalım
x.n +[ n(n+1)/2 ]=1997
n [ x + (n+1)/2 ]=1997
n=1 yada n=1997 olabilir (1997 asal olduğundan)
n=1 baştaki kabulümüzle çelişir olmaz n=1997 için x=-998 çıkar buda x+1 negatif olmayan kabulümüzle çelişir demekki böyle ardışık sayılar toplamı 1997 yapamazmış

c-2 ve c-3ü tam olarak anlayamadim ayrintili olarak açıklayabilir misiniz?

3) alternatif çözüm


ifadesi tam sayı olacaksa


yine tamsayı olur( 4 ile 4n+5 aralarında asal o yüzden pay kısmını 4 ile çarpabilirsiniz)







artık (4n+5) sayısnını 51 i neden bölmesi gerektiği anlaşılıyodur

önceki çözümde yaptıklarımızda öklid algoritması onuda çalışıp öğrenmenizde fayda var

2. sorunuz çözülmüş polinom bölmesi yapılarak birde öklid algoritmasıyla çözelim
n yerine kolaylık olsun x kullanacağım

obeb ( 3x³-5x²-4x-2 , x-2)
ilk adımı açıklayayım sonrasını siz kendiniz anlamaya çalışın x-2 ifadesi -3x² ile çarpılırsa
-3x²(x-2)=-3x³+6x² şimdi bu ifadeyi obeb teki ilk terime ekleyelim(bu yapılırsa obeb değişmez) yani oluşan yeni obeb ifadesi

(3x³-5x²-4x-2-3x³+6x² , x-2) = (x²-4x-2 , x-2) bundan sonra aynı mantıkla gidip

(x²-4x-2 , x-2)=(-2x-2 , x-2)=(-6, x-2) buradan x-2 nin 6 sayısının bölenlerinden biri olması gerektiği daha önce kcancelik tarafından yapılan çözümdede gösterilmişti