1. #1

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer

    Sponsorlu Bağlantılar

    Özel matematik sorusu

    x+y+z=1
    x²+y²+z²=3
    x³+y³+z³=10

    x10+y10+z10=?

  2. #2

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Diğer

    Sponsorlu Bağlantılar

    Bu sorunun özünü daha önce vermiştim. Aradım ama bulamadım. Yeniden yazayım:

    Kökleri x, y, z olan üçüncü derece polinom P(t) olsun. Yani P(t)=t3+At2+Bt+C = (t-x)(t-y)(t-z) olsun.

    A = -( x+y+z ) = -1 dir.

    B= xy + xz + yz = [(x+y+z)2-(x2+y2+z2)]/2 = (12-3)/2 = -1 dir.

    x, y, z sayıları P(t) nin kökleri olduğuna göre P(t)=0 denklemini sağlarlar:

    x3+Ax2+Bx+C = 0
    y3+Ay2+By+C = 0
    z3+Az2+Bz+C = 0

    Bunları taraf tarafa toplarsak 10+3A+B+3C=0 ve buradan da C=-2 olur.

    Yani P(t)=t3-t2-t-2 dir. Ya da

    x3-x2-x-2 = 0
    y3-y2-y-2 = 0
    z3-z2-z-2 = 0

    Bu denklemleri sırasıyla x, y, z sayıları ile çarparsak

    x4-x3-x2-2x = 0
    y4-y3-y2-2y = 0
    z4-z3-z2-2z = 0

    bulunur ve bunları taraf tarafa toplarsak

    x4+y4+z4 = (x3+y3+z3) + (x2+y2+z2) + 2(x+y+z) = 15 olur.

    Benzer şekilde diğer kuvvetlerin toplamı da bulunur.

    Ya da her n pozitif tam sayısı için f(n)=xn+yn+zn dersek f(1) = 1, f(2)=3, f(3)=10 olduğunu biliyoruz. Bizden f(10) değeri isteniyor.

    x3-x2-x-2 = 0
    y3-y2-y-2 = 0
    z3-z2-z-2 = 0

    eşitlikleri bulunduktan sonra bu eşitlikler sırasıyla xn, yn ve zn sayılarıyla çarpılıp toplanırsa

    f(n+3) = f(n+2) + f(n+1) + 2f(n) buluruz.

    f(4) = f(3) + f(2) + 2f(1) = 15,
    f(5) = f(4) + f(3) + 2f(2) = 31,
    f(6) = f(5) + f(4) + 2f(3) = 66,
    f(7) = f(6) + f(5) + 2f(4) = 127,
    f(8) = f(7) + f(6) + 2f(5) = 255,
    f(9) = f(8) + f(7) + 2f(6) = 514,
    f(10) = f(9) + f(8) + 2f(7) = 1023 olur.

  3. #3

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer

    Sponsorlu Bağlantılar

    Çok teşekkür ederim öyleyse bu yöntemi a+b=1 , a²+b²=2 , a7+b7=?
    gibi sorularda da kullanabiliriz.

  4. #4

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Diğer
    Rica ederim. Kesinlikle kullanabilirsiniz.

    Bu arada ilk soru için P(t) polinomu (t-2)(t2+t+1) şeklinde çarpanlara ayrıldığı için köklerden biri x=2 dir. Diğerleri y=t1 ve z=t2 olursa y+z=-1 dir. (y ve z açık bulunabilir ama gerekli değil).

    y2+y+1=0 olduğu için y3=1 ve y10=y olur. Benzer şekilde z10=z dir.

    Yani

    x10+y10+z10=210+y+z=1024-1=1023 bulunur.


 

  • Bu yazıyı beğenerek
    destek
    verebilirsiniz

    Foruma üye olmana gerek yok! Facebook hesabınla yorumlarını bekliyoruz!
  • Benzer konular

    1. Özel Bir Matematik sorusu
      orhunal, bu konuyu "Lise Olimpiyat Soruları" forumunda açtı.
      : 5
      : 15 Nis 2014, 20:09
    2. Özel Bir Matematik Sorusu
      cehennemlikadam, bu konuyu "Özel Matematik Geometri" forumunda açtı.
      : 3
      : 27 Şub 2014, 00:54
    3. özel matematik ve geometri
      korkmazserkan, bu konuyu "Özel matematik soruları" forumunda açtı.
      : 6
      : 15 Ağu 2011, 11:53
    4. özel matematik sorusuu
      mert07, bu konuyu "Özel matematik soruları" forumunda açtı.
      : 9
      : 05 May 2011, 23:09
    5. özel matematik
      duncanduncan, bu konuyu "7. sınıf matematik soruları" forumunda açtı.
      : 3
      : 12 Oca 2011, 00:41
    Forum Kullanım ve Gizlilik Kuralları