x+y+z=1
x²+y²+z²=3
x³+y³+z³=10
x10+y10+z10=?
Yazdırılabilir görünüm
x+y+z=1
x²+y²+z²=3
x³+y³+z³=10
x10+y10+z10=?
Bu sorunun özünü daha önce vermiştim. Aradım ama bulamadım. Yeniden yazayım:
Kökleri x, y, z olan üçüncü derece polinom P(t) olsun. Yani P(t)=t3+At2+Bt+C = (t-x)(t-y)(t-z) olsun.
A = -( x+y+z ) = -1 dir.
B= xy + xz + yz = [(x+y+z)2-(x2+y2+z2)]/2 = (12-3)/2 = -1 dir.
x, y, z sayıları P(t) nin kökleri olduğuna göre P(t)=0 denklemini sağlarlar:
x3+Ax2+Bx+C = 0
y3+Ay2+By+C = 0
z3+Az2+Bz+C = 0
Bunları taraf tarafa toplarsak 10+3A+B+3C=0 ve buradan da C=-2 olur.
Yani P(t)=t3-t2-t-2 dir. Ya da
x3-x2-x-2 = 0
y3-y2-y-2 = 0
z3-z2-z-2 = 0
Bu denklemleri sırasıyla x, y, z sayıları ile çarparsak
x4-x3-x2-2x = 0
y4-y3-y2-2y = 0
z4-z3-z2-2z = 0
bulunur ve bunları taraf tarafa toplarsak
x4+y4+z4 = (x3+y3+z3) + (x2+y2+z2) + 2(x+y+z) = 15 olur.
Benzer şekilde diğer kuvvetlerin toplamı da bulunur.
Ya da her n pozitif tam sayısı için f(n)=xn+yn+zn dersek f(1) = 1, f(2)=3, f(3)=10 olduğunu biliyoruz. Bizden f(10) değeri isteniyor.
x3-x2-x-2 = 0
y3-y2-y-2 = 0
z3-z2-z-2 = 0
eşitlikleri bulunduktan sonra bu eşitlikler sırasıyla xn, yn ve zn sayılarıyla çarpılıp toplanırsa
f(n+3) = f(n+2) + f(n+1) + 2f(n) buluruz.
f(4) = f(3) + f(2) + 2f(1) = 15,
f(5) = f(4) + f(3) + 2f(2) = 31,
f(6) = f(5) + f(4) + 2f(3) = 66,
f(7) = f(6) + f(5) + 2f(4) = 127,
f(8) = f(7) + f(6) + 2f(5) = 255,
f(9) = f(8) + f(7) + 2f(6) = 514,
f(10) = f(9) + f(8) + 2f(7) = 1023 olur.
Çok teşekkür ederim:) öyleyse bu yöntemi a+b=1 , a²+b²=2 , a7+b7=?
gibi sorularda da kullanabiliriz. :)
Rica ederim. Kesinlikle kullanabilirsiniz.
Bu arada ilk soru için P(t) polinomu (t-2)(t2+t+1) şeklinde çarpanlara ayrıldığı için köklerden biri x=2 dir. Diğerleri y=t1 ve z=t2 olursa y+z=-1 dir. (y ve z açık bulunabilir ama gerekli değil).
y2+y+1=0 olduğu için y3=1 ve y10=y olur. Benzer şekilde z10=z dir.
Yani
x10+y10+z10=210+y+z=1024-1=1023 bulunur.