x+y+z=1
x²+y²+z²=3
x³+y³+z³=10

x¹⁰+y¹⁰+z¹⁰=?

Bu sorunun özünü daha önce vermiştim. Aradım ama bulamadım. Yeniden yazayım:

Kökleri x, y, z olan üçüncü derece polinom P(t) olsun. Yani P(t)=t³+At²+Bt+C = (t-x)(t-y)(t-z) olsun.

A = -( x+y+z ) = -1 dir.

B= xy + xz + yz = [(x+y+z)²-(x²+y²+z²)]/2 = (1²-3)/2 = -1 dir.

x, y, z sayıları P(t) nin kökleri olduğuna göre P(t)=0 denklemini sağlarlar:

x³+Ax²+Bx+C = 0
y³+Ay²+By+C = 0
z³+Az²+Bz+C = 0

Bunları taraf tarafa toplarsak 10+3A+B+3C=0 ve buradan da C=-2 olur.

Yani P(t)=t³-t²-t-2 dir. Ya da

x³-x²-x-2 = 0
y³-y²-y-2 = 0
z³-z²-z-2 = 0

Bu denklemleri sırasıyla x, y, z sayıları ile çarparsak

x⁴-x³-x²-2x = 0
y⁴-y³-y²-2y = 0
z⁴-z³-z²-2z = 0

bulunur ve bunları taraf tarafa toplarsak

x⁴+y⁴+z⁴ = (x³+y³+z³) + (x²+y²+z²) + 2(x+y+z) = 15 olur.

Benzer şekilde diğer kuvvetlerin toplamı da bulunur.

Ya da her n pozitif tam sayısı için f(n)=xⁿ+yⁿ+zⁿ dersek f(1) = 1, f(2)=3, f(3)=10 olduğunu biliyoruz. Bizden f(10) değeri isteniyor.

x³-x²-x-2 = 0
y³-y²-y-2 = 0
z³-z²-z-2 = 0

eşitlikleri bulunduktan sonra bu eşitlikler sırasıyla xⁿ, yⁿ ve zⁿ sayılarıyla çarpılıp toplanırsa

f(n+3) = f(n+2) + f(n+1) + 2f(n) buluruz.

f(4) = f(3) + f(2) + 2f(1) = 15,
f(5) = f(4) + f(3) + 2f(2) = 31,
f(6) = f(5) + f(4) + 2f(3) = 66,
f(7) = f(6) + f(5) + 2f(4) = 127,
f(8) = f(7) + f(6) + 2f(5) = 255,
f(9) = f(8) + f(7) + 2f(6) = 514,
f(10) = f(9) + f(8) + 2f(7) = 1023 olur.

Çok teşekkür ederim:) öyleyse bu yöntemi a+b=1 , a²+b²=2 , a⁷+b⁷=?
gibi sorularda da kullanabiliriz. :)

Rica ederim. Kesinlikle kullanabilirsiniz.

Bu arada ilk soru için P(t) polinomu (t-2)(t²+t+1) şeklinde çarpanlara ayrıldığı için köklerden biri x=2 dir. Diğerleri y=t₁ ve z=t₂ olursa y+z=-1 dir. (y ve z açık bulunabilir ama gerekli değil).

y²+y+1=0 olduğu için y³=1 ve y¹⁰=y olur. Benzer şekilde z¹⁰=z dir.

Yani

x¹⁰+y¹⁰+z¹⁰=2¹⁰+y+z=1024-1=1023 bulunur.