1. #1

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer

    Sponsorlu Bağlantılar

    Bölünebilme

    1≤n≤256 olmak üzere 19n2+8n+135+1 sayısının 257 ile bölünmesini sağlayan kaç n pozitif tam sayısı vardır ?

  2. #2

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer

    Sponsorlu Bağlantılar

    257 fermat asalı olduğundan 19 un ilkel kök olması için gerek ve yeter koşul quadratic residue olmamasıdır. yani bi sayının karesi olmaması

    257 4k+1 şekilli olduğundan
    a²≡19 (mod257) nin çözümünün olması için gerek ve yeter şart
    a²≡257 (mod19) un çözümünün olmasıdır
    a²=257=10 (mod19)
    a için 1,2,...,9 denenirse bunun çözümü olmadığı ve dolayısıyla 19 sayısının 257 modunda ilkel kök olduğu yani ilk defa 19128≡-1 (mod257) olduğu anlaşılır

    19n²+8n+135≡-1 (mod257) olmasını istiyoruz
    n²+8n+135=256k+128 formundadır

    n²+8n+7=256k
    (n+1).(n+7)=256k , çarpanlar arasında 6 fark olduğundan ve n tek sayı olacağından birinden tek bir tane 2 çarpanı gelir diğerinden de 128 çarpanı gelmelidir.
    n+1=256 → n=255
    n+1=128 → n=127
    n+7=256 → n=249
    n+7=128 → n=121
    isteneni sağlayan n sayıları olmalı.

  3. #3

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer

    Sponsorlu Bağlantılar

    Teşekkür ederim ama ben pek anlayamadım.
    İlkel kök ve quadratic residue ne demek? Neden a²≡19 (mod257) çözümünün olmasını istiyoruz ve neden bunun çözümünün olması a²≡257 (mod19) in çözümünün olmasına bağlı? 19128≡-1 (mod257) olduğunu nasıl bulduk ?

  4. #4

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer
    Teşekkür ederim ama ben pek anlayamadım.
    İlkel kök ve quadratic residue ne demek? Neden a²≡19 (mod257) çözümünün olmasını istiyoruz ve neden bunun çözümünün olması a²≡257 (mod19) in çözümünün olmasına bağlı? 19128≡-1 (mod257) olduğunu nasıl bulduk ?
    ilkel kök : herhangi bir n modunda bir r sayısının ilkel kök olması demek , o modda n ile aralarında asal her sayının r nin bir kuvveti olarak yazılabilmesi demek. özel olarak mod asalsa r nin kuvvetlerinin tüm kalanlar sınıfını oluşturması demek.
    örneğin 7 modunda 2 ilkel kök değildir çünkü tüm kalanlar sınıfını oluşturmaz, kuvvet 6 olmadan henüz 3 ken 2³=1 (mod7) olmaktadır.
    yine 7 modunda 3 bir ilkel köktür çünkü 3² veya 3³ 1 e denk değil. yani ilk defa 36 da 1 e ulaşılıyor (bunda ulaşılması fermata göre kesin zaten - uzatıyorum ama olsun)
    3 ün ilk defa 1 olduğu nokta için 6 nın bölenlerine bakıyoruz.

    quadratic residue: a²≡b (modn) ifadesinde b n modunda bir quadratic residuedür. bir sayının karesi olan sayı işte (ya da "kare kalan" , Türkçe'de ne diyoruz bilmiyorum). mesela 5 modunda 4 bir kareyken , 2 ve 3 değildir

    quadratic reciprocity theorem: (bunun da Türkçesi "karesel ters/çevirme teoremi" heralde )
    p ve q asalken
    a²=p (modq) olan a bulunması için gerek ve yeter şart

    q=4k+1 ise b²=q (modp)
    q=4k+3 ise b²=-q (modp) olan b sayısının bulunmasıdır.

    ------------

    şimdi soruya gelirsek 19 un ilkel kök olmasını bulmayı amaçladık. burada 257 fermat asalı olduğundan 19 un sadece 2 nin kuvvetleri olan kuvvetlerine bakacağımızdan 19 un ilkel kök olması ancak ve ancak quadratic residue olmamasıyla mümkündür.

    yukarıdaki teoreme göre de
    a²=19 (mod257) nin çözümü olmasın istiyorsak
    b²=257=10 (mod19) un çözümü olmamalıdır , ki yoktur zaten. sonuçta 19 ilkel köktür
    19 un kuvvetleri 257 modundaki tüm kalanları oluşturur yani ilk defa 1 e 19256 da ve dolayısıyla ilk defa -1 e 19128 de ulaşılır.

    gerisi zaten yeterince açık olmalı. kafamdakileri ancak bu kadar toparlayabildim, anlaşılmayan yer varsa sorabilirsin bazı yerlerde yanlış/eksik yazmış olabilirim .

  5. #5

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer
    şimdi evden çıkmam lazım ve soru kafama takıldı, bugün uygun bi zamanda tekrar bakayım, muhtemelen eksik bişey yok ama olsun.

  6. #6

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer
    Anladım çok teşekkür ederim Peki 19'un mod 257'de ilkel kök olması için quadratic residue olmaması lazım dedik ya. Bu kural sadece asal olunca mı geçerli ?

  7. #7

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer
    Anladım çok teşekkür ederim Peki 19'un mod 257'de ilkel kök olması için quadratic residue olmaması lazım dedik ya. Bu kural sadece asal olunca mı geçerli ?
    hayır bu 257 ya da benzeri sayılar için geçerli (fermat asalları vs)

    şöyle düşünelim 19 bi sayının karesi olabilse atıyorum x²=19 , ardından x^256=1 olduğundan 19^128=1 olması kesinleşir bu da 19 un ilkel kök olmamasıdır.
    yani mesele 256 nın sadece 2 lerden oluşması.

    ayrıca sorunun çözümüne salim kafayla bi daha baktım da sıkıntı yok, bu haliyle bana göre doğru. 4 tane n sayısı bulunabiliyor.

  8. #8

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer
    hayır bu 257 ya da benzeri sayılar için geçerli (fermat asalları vs)

    şöyle düşünelim 19 bi sayının karesi olabilse atıyorum x²=19 , ardından x^256=1 olduğundan 19^128=1 olması kesinleşir bu da 19 un ilkel kök olmamasıdır.
    yani mesele 256 nın sadece 2 lerden oluşması.

    ayrıca sorunun çözümüne salim kafayla bi daha baktım da sıkıntı yok, bu haliyle bana göre doğru. 4 tane n sayısı bulunabiliyor.
    fermat asalı ne demek ?

  9. #9

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    11. sınıf
    Fermat sayıları: Fermat sayıları - Vikipedi
    İyi günler.
    Bilgi ve ego ters orantılıdır, bilgi arttıkça ego azalır. (Albert Einstein)

  10. #10

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer
    Bir de şöyle bir soru var. Bakar mısınız ? 72n+1 sayısının 1201'e bölünmesini sağlayan kaç n pozitif tam sayısı vardır ?
    Fermat sayıları: Fermat sayıları - Vikipedi
    İyi günler.
    Teşekkür ederim


 
1 2

  • Bu yazıyı beğenerek
    destek
    verebilirsiniz

    Foruma üye olmana gerek yok! Facebook hesabınla yorumlarını bekliyoruz!
  • Benzer konular

    1. Bölünebilme
      Matcolik, bu konuyu "KPSS Matematik" forumunda açtı.
      : 2
      : 05 Nis 2013, 00:47
    2. Bölünebilme
      gereksizyorumcu, bu konuyu "Özel matematik soruları" forumunda açtı.
      : 10
      : 27 Şub 2013, 09:41
    3. bölünebilme
      ggulcinn, bu konuyu "Ygs & Lys Matematik" forumunda açtı.
      : 3
      : 02 Şub 2013, 15:08
    4. bölünebilme
      erdem101010, bu konuyu "Ygs & Lys Matematik" forumunda açtı.
      : 3
      : 19 Ara 2012, 22:42
    5. Bölünebilme
      bkb1988, bu konuyu "Kpss matematik soruları" forumunda açtı.
      : 10
      : 12 Ara 2011, 18:37
    Forum Kullanım ve Gizlilik Kuralları