[sentetikgeo]

1≤n≤256 olmak üzere 19^n2+8n+135+1 sayısının 257 ile bölünmesini sağlayan kaç n pozitif tam sayısı vardır ?

[gereksizyorumcu]

257 fermat asalı olduğundan 19 un ilkel kök olması için gerek ve yeter koşul quadratic residue olmamasıdır. yani bi sayının karesi olmaması

257 4k+1 şekilli olduğundan
a²≡19 (mod257) nin çözümünün olması için gerek ve yeter şart
a²≡257 (mod19) un çözümünün olmasıdır
a²=257=10 (mod19)
a için 1,2,...,9 denenirse bunun çözümü olmadığı ve dolayısıyla 19 sayısının 257 modunda ilkel kök olduğu yani ilk defa 19¹²⁸≡-1 (mod257) olduğu anlaşılır

19^n²+8n+135≡-1 (mod257) olmasını istiyoruz
n²+8n+135=256k+128 formundadır

n²+8n+7=256k
(n+1).(n+7)=256k , çarpanlar arasında 6 fark olduğundan ve n tek sayı olacağından birinden tek bir tane 2 çarpanı gelir diğerinden de 128 çarpanı gelmelidir.
n+1=256 → n=255
n+1=128 → n=127
n+7=256 → n=249
n+7=128 → n=121
isteneni sağlayan n sayıları olmalı.

[sentetikgeo]

Teşekkür ederim ama ben pek anlayamadım.
İlkel kök ve quadratic residue ne demek? Neden a²≡19 (mod257) çözümünün olmasını istiyoruz ve neden bunun çözümünün olması a²≡257 (mod19) in çözümünün olmasına bağlı? 19¹²⁸≡-1 (mod257) olduğunu nasıl bulduk ?

[gereksizyorumcu]

Teşekkür ederim ama ben pek anlayamadım.
İlkel kök ve quadratic residue ne demek? Neden a²≡19 (mod257) çözümünün olmasını istiyoruz ve neden bunun çözümünün olması a²≡257 (mod19) in çözümünün olmasına bağlı? 19¹²⁸≡-1 (mod257) olduğunu nasıl bulduk ?

ilkel kök : herhangi bir n modunda bir r sayısının ilkel kök olması demek , o modda n ile aralarında asal her sayının r nin bir kuvveti olarak yazılabilmesi demek. özel olarak mod asalsa r nin kuvvetlerinin tüm kalanlar sınıfını oluşturması demek.
örneğin 7 modunda 2 ilkel kök değildir çünkü tüm kalanlar sınıfını oluşturmaz, kuvvet 6 olmadan henüz 3 ken 2³=1 (mod7) olmaktadır.
yine 7 modunda 3 bir ilkel köktür çünkü 3² veya 3³ 1 e denk değil. yani ilk defa 3⁶ da 1 e ulaşılıyor (bunda ulaşılması fermata göre kesin zaten - uzatıyorum ama olsun)
3 ün ilk defa 1 olduğu nokta için 6 nın bölenlerine bakıyoruz.

quadratic residue: a²≡b (modn) ifadesinde b n modunda bir quadratic residuedür. bir sayının karesi olan sayı işte (ya da "kare kalan" , Türkçe'de ne diyoruz bilmiyorum). mesela 5 modunda 4 bir kareyken , 2 ve 3 değildir

quadratic reciprocity theorem: (bunun da Türkçesi "karesel ters/çevirme teoremi" heralde )
p ve q asalken
a²=p (modq) olan a bulunması için gerek ve yeter şart

q=4k+1 ise b²=q (modp)
q=4k+3 ise b²=-q (modp) olan b sayısının bulunmasıdır.

------------

şimdi soruya gelirsek 19 un ilkel kök olmasını bulmayı amaçladık. burada 257 fermat asalı olduğundan 19 un sadece 2 nin kuvvetleri olan kuvvetlerine bakacağımızdan 19 un ilkel kök olması ancak ve ancak quadratic residue olmamasıyla mümkündür.

yukarıdaki teoreme göre de
a²=19 (mod257) nin çözümü olmasın istiyorsak
b²=257=10 (mod19) un çözümü olmamalıdır , ki yoktur zaten. sonuçta 19 ilkel köktür
19 un kuvvetleri 257 modundaki tüm kalanları oluşturur yani ilk defa 1 e 19²⁵⁶ da ve dolayısıyla ilk defa -1 e 19¹²⁸ de ulaşılır.

gerisi zaten yeterince açık olmalı. kafamdakileri ancak bu kadar toparlayabildim, anlaşılmayan yer varsa sorabilirsin bazı yerlerde yanlış/eksik yazmış olabilirim .

[gereksizyorumcu]

şimdi evden çıkmam lazım ve soru kafama takıldı, bugün uygun bi zamanda tekrar bakayım, muhtemelen eksik bişey yok ama olsun.

[sentetikgeo]

Anladım çok teşekkür ederim Peki 19'un mod 257'de ilkel kök olması için quadratic residue olmaması lazım dedik ya. Bu kural sadece asal olunca mı geçerli ?

[gereksizyorumcu]

Anladım çok teşekkür ederim Peki 19'un mod 257'de ilkel kök olması için quadratic residue olmaması lazım dedik ya. Bu kural sadece asal olunca mı geçerli ?

hayır bu 257 ya da benzeri sayılar için geçerli (fermat asalları vs)

şöyle düşünelim 19 bi sayının karesi olabilse atıyorum x²=19 , ardından x^256=1 olduğundan 19^128=1 olması kesinleşir bu da 19 un ilkel kök olmamasıdır.
yani mesele 256 nın sadece 2 lerden oluşması.

ayrıca sorunun çözümüne salim kafayla bi daha baktım da sıkıntı yok, bu haliyle bana göre doğru. 4 tane n sayısı bulunabiliyor.

[sentetikgeo]

hayır bu 257 ya da benzeri sayılar için geçerli (fermat asalları vs)

şöyle düşünelim 19 bi sayının karesi olabilse atıyorum x²=19 , ardından x^256=1 olduğundan 19^128=1 olması kesinleşir bu da 19 un ilkel kök olmamasıdır.
yani mesele 256 nın sadece 2 lerden oluşması.

ayrıca sorunun çözümüne salim kafayla bi daha baktım da sıkıntı yok, bu haliyle bana göre doğru. 4 tane n sayısı bulunabiliyor.

fermat asalı ne demek ?

[kcancelik]

Fermat sayıları: Fermat sayıları - Vikipedi
İyi günler.

[sentetikgeo]

Bir de şöyle bir soru var. Bakar mısınız ? 7²ⁿ+1 sayısının 1201'e bölünmesini sağlayan kaç n pozitif tam sayısı vardır ?

Fermat sayıları: Fermat sayıları - Vikipedi
İyi günler.

Teşekkür ederim