x reel sayı , x^9 +7x< 10 ise x<1,1 olduğunu kanıtlayınız.
gereksizyorumcu 11:59 16 Şub 2013 #2
bu eşitsizlik doğru muymuş?
ilk bakışta
(1+1/10)9.(1+1/10)~e~2,7 desek
ilk sayı 2,4 civarı bişey yani en azından 2,3 den büyük diyebiliriz
7x de 7,7 eder toplam 10 u geçer.
hesap makinesiyle deneyince de sınırın 1,0978 civarı bişey olması gerektiği görülüyor yani 1,098 için 10 dan büyük.
ilk bakışta
(1+1/10)9.(1+1/10)~e~2,7 desek
ilk sayı 2,4 civarı bişey yani en azından 2,3 den büyük diyebiliriz
7x de 7,7 eder toplam 10 u geçer.
hesap makinesiyle deneyince de sınırın 1,0978 civarı bişey olması gerektiği görülüyor yani 1,098 için 10 dan büyük.
Hocam soruda küçük bir düzeltme yaptım ama eşitsizlik doğru.
x≥1,1 ise x9+7x≥10 olduğunu gösterelim.
x=1,1 için x9+7x≈10,05>10 ve x pozitif olduğundan x≥1,1 ise x9+7x>10 olduğunu göstermek yetişir. Yani polinom derecesi tek olduğundan en az bir reel kök vardır ve x9+7x=10 eşitliğini sağlayan kök [1,1;∞) aralığında olmadığından "x≥1,1 ise x9+7x>10" olduğu ispat edilir. Bu da zaten x9+7x in yapısı gereği x=1,1 için >10 ise diğer değerler için hayli hayli gerçekleşecektir, aşikardır. Yani artandır.
Daha teorik bir ispat olarak, her x≥1,1 için f(x)=x9+7x-10>0 olduğunu gösterelim. x≥1,1 için polinom sürekli ve türevlenebilir olduğundan, f '(x)=9x8+7>0 olduğundan aralıktaki her x değeri için f artan olacaktır. (Polinom fonksiyonu her yerde süreklidir.)
fmin=f(1,1)>0 olduğundan, f(x)=x9+7x-10>0 ve f(x)=x9+7x>10 olduğu gösterilmiş olur.
Dikkat:
p=>q şeklindeki bir önermeyi q=>p şeklinde yazarsanız doğru olmayabilir veya genellikle yanlış olur diyebiliriz. Çünkü p=>q≢q=>p dir.
Sayın Yorumcunun yorumundan anladığıma göre, soru evvelen "x<1,1 ise x9+7x<10" yazılmış sanırım. Bu yanlış oluyor tabii. Çünkü 1,1'e çok yakın değerlerde >10 oluyor.
x=1,1 için x9+7x≈10,05>10 ve x pozitif olduğundan x≥1,1 ise x9+7x>10 olduğunu göstermek yetişir. Yani polinom derecesi tek olduğundan en az bir reel kök vardır ve x9+7x=10 eşitliğini sağlayan kök [1,1;∞) aralığında olmadığından "x≥1,1 ise x9+7x>10" olduğu ispat edilir. Bu da zaten x9+7x in yapısı gereği x=1,1 için >10 ise diğer değerler için hayli hayli gerçekleşecektir, aşikardır. Yani artandır.
Daha teorik bir ispat olarak, her x≥1,1 için f(x)=x9+7x-10>0 olduğunu gösterelim. x≥1,1 için polinom sürekli ve türevlenebilir olduğundan, f '(x)=9x8+7>0 olduğundan aralıktaki her x değeri için f artan olacaktır. (Polinom fonksiyonu her yerde süreklidir.)
fmin=f(1,1)>0 olduğundan, f(x)=x9+7x-10>0 ve f(x)=x9+7x>10 olduğu gösterilmiş olur.
Dikkat:
p=>q şeklindeki bir önermeyi q=>p şeklinde yazarsanız doğru olmayabilir veya genellikle yanlış olur diyebiliriz. Çünkü p=>q≢q=>p dir.
Sayın Yorumcunun yorumundan anladığıma göre, soru evvelen "x<1,1 ise x9+7x<10" yazılmış sanırım. Bu yanlış oluyor tabii. Çünkü 1,1'e çok yakın değerlerde >10 oluyor.