Eşitsizlik

4≤n ve her n ∈ N için n!>2ⁿ olduğunu gösteriniz.

i)n=4 => 24>16
ii)n!>2ⁿ in doğru olduğunu kabul edersek
iii)(n+1)!>2ⁿ⁺¹
(n+1).n!>2.2ⁿ
(n+1)>2 olduğundan (n+1)!>2ⁿ⁺¹ herzaman doğrudur
yanlış hatırlamıyorsam böyle yapılıyordu bunun ispatı

Öncelikle belirteyim: Benim ispatımı beğenmeyebilirsiniz, yeterli görmeyebilirsiniz. Bu, soruda nasıl bir ispat istendiğine göre değişir.
n=1 için; n!=1, 2ⁿ=2; n!<2ⁿ
n=2 için; n!=2, 2ⁿ=4; n!<2ⁿ
n=3 için; n!=6, 2ⁿ=8; n!<2ⁿ
n=4 için; n!=24, 2ⁿ=16; n!>2ⁿ
Ve bundan sonraki sayılarda n! hesap edilirken; 24'ün yanına 5 , 5.6 , 5.6.7 ...... gibi sayılar çarpım durumunda yazılır. 2ⁿ hesaplanırken de 16'nın yanına 2,2.2,2.2.2 gibi sayılar çarpım durumunda yazılır.
24,36∈R[UST]+/UST] ve 24>16 ve ekleyeceğimiz sayıların grafiği şu şekilde

olduğundan; 4 ve 4'ten büyük tüm n değerleri için n!>2ⁿ dir.

2ⁿ çok kötü bi sınır olduğu için türlü türlü yollardan ispat yapılabilir
mesela n! i toplamları (n+1) olan çarpanları aynı parantez içinde olmak üzere gruplandırarak yazarsak (n ile 1 ve (n-1) ile 2 gibi ) her parantezin içinin n den yani 2² den büyük olduğunu görürüz sonuçta n!≥(2²)^n/2=2ⁿ bulunur

Arkadaş öğretmen ve okulda gerekiyorsa,
hoşgeldiniz diyerek, tümevarım yöntemi ile ispat: