(A x B) x (C x D) ile A x (B x C) x D'nin kartezyen çarpımı birbirine eşit midir ? ispatlayınız.
şimdiden teşekkürler.
(A x B) x (C x D) ile A x (B x C) x D'nin kartezyen çarpımı birbirine eşit midir ? ispatlayınız.
şimdiden teşekkürler.
Bu kümeler eşit değilse ya da boşküme falan değillerse (belli bazı özel durumlar da eşitliğin veriliş tarzına bağlı olarak bulunabilir) bu eşitlik sağlanmaz. ispatını basit bazı kümeler seçip tersine örnek göstermek suretiyle yapabilirsiniz.
A={1} B={2} C={3} D={4}
(AXB) = {(1,2)} CXD={(3,4)} (AXB)X (CXD) = {(1,2,3),(1,2,4)}
(BXC) = {(2,3)}
AX(BXC)= {(1,2),(1,3)} AX(BXC)XD = {(1,2,4),(1,3,4)}
sonuç olarak iki ifade eşit değildir diyebilirmiyim işlemlerde herhangi bir yanlışlık varmı?
Bu çarpım bu şekilde hesaplanmaz.
şimdi benim de kafam karıştı yanlış hatırlıyor olabilirim. akşam eve gittiğimde bakıp yanlışlarımızı düzeltmeye sorunu da cevaplamaya çalışacağım ama bu iki ifadenin birbirine eşit olmayacağı aklımın bi köşesinde kalmış muhtemelen de doğru kalmıştır.
Nasıl yani hesaplanmaz? Kartezyen çarpım işte A,B,C,D hepsinin 1 elemanı varmış gibi kabul ettim öyle çarptım yanlışmıyım?
(axb)x(cxd)=ax(bxc)xd verdiğiniz eşitlik doğru değildir tersine örnek göstermeye çalıştığınız işlemler hatalıdır aşağıda aynı örneğin çözümünü yazmaya çalıştım umarım parantez hatası yoktur.bu eşitlikte olsa olsa eleman sayıları eşittir yani
s( (axb)x(cxd) )= s ( ax(bxc)xd ) bu geçerlidir nitekim aşağıdaki işlemlerden sonra verdiğiniz eşitliğin her iki tarafında sadece 1 eleman oluştuğuna dikkat edin
(axb)x(cxd)=?
axb={(1,2)}
cxd={(3,4)}
(axb)x(cxd)={((1,2),(3,4))}
ax(bxc)xd=?
bxc={(2,3)}
ax(bxc)={(1,(2,3))}
ax(bxc)xd={((1,(2,3)),4)}
Sağolun hocam imdada yetiştiniz. Ben de bunu söylemek istemiştim ama tanımla ilgili bir hata yapmış olabilir miyim diye kafam karışmıştı. gözümün önüne R³ geldiğinden bi kitaba ya da siteye bakıp doğrusunu öyle yazarım diyodum :)
evet örneği ben verdim ama daha sonra örnek ile kabul etmediğini söyledi :S
Valla, asıl şimdi benim kafam karıştı.
Sizin yaptığınız işleme göre öğretmenim, sol taraf iki boyutlu, sağ taraf 3 boyutlu.
Sonuçta ikisinin de, 4 boyutlu olması gerekmiyor mu?
Ayrıca, Ax(BxC)=(AxB)xC eşitliği sağlandığını biliyoruz. Bunu ondan pek bir farkı yok bence.
Kümelerin yerleri değişmediği dürece, bence eşittir.
Yanlış düşünüyor olabilirim , ama , garip geldi bana.
2 tarafta 2 boyutlu parantezlere dikkat edin. Ayrıca kartezyen çarpım her zaman ikililerden oluşur.
Sayın gereksizyorumcu yapmayın. Kartezyen çarpımda, birleşme özeliği var. Siz olmadığını iddia ediyorsunuz.
Bu linkteki bilgi ne yazıkki yanlış. kendi adıma kafa karışıklığımı giderdim. işlerin aerturk hocamızın dediği gibi yürüdüğünü düşünüyorum. Destekleyen bi kaynak linki bulursam buraya eklemeye çalışacağım.
Cartesian product: Definition from Answers.com
en sonda bu eşitliğin olmadığı yazıyor ama tüm Türkçe kaynaklarda da bu eşitlik yazıyor biraz garip bunu yanlış yazmaları. bu arada bulamadım ama sanki daha önceden bununla ilgili bi soruyu (içinde 3 kümenin çarpımı vardı) forumda sordular da ben de yine yanlış çözdüm gibi bi düşünceye kapıldım.
Hele kartezyen nedir, niye kartezyen çarpım ya da kartezyen koordinat nedir diye bir araştırayım dedim. Karşıma Descartes çıktı. Kartezyen , Dekartçı demekmiş. Devam ettim araştırmaya ve şöyle bir yazı buldum. Okumak isteyenlere.
Rene Descartes'in Matematik Felsefesi
Rene Descartes'in Matematik Felsefesi
ya şimdi örnek vermeden ispat edemezmiyiz bunu acaba :D ?
Burada yaptığım ispatın benzerini istiyorsun sen o zaman.
Ne zamana lazım bu sana canım.
AXB={(x,y)|x∈A ve y∈B}
tanımını kullanılarak
AX(BXC)=
={(x,y,z)|x∈A ve (y,z)y∈ BXC}
={(x,y,z)|x∈A ve (y∈ B ve z∈C)}
={(x,y,z)|(x∈A ve y∈ B) ve z∈C}
={(x,y,z)|(x,y)∈AxB ve z∈C}
=(AXB)XC
Buna bakarak o ispatı da sen yapabilirsin canım.
Tanımı yazdıktan sonra, elemanları, uygun biçimde istediğin gibi , ayarlayıp ispatı tammalayabilrisin. Kafamda yaptım da, yazmaya üşeniyorum.
Canım, beni üzüyorsun. Burada o kadar tartışma oluyor. bu tartışma neden oluyor, niye birileri doğrudur, birileri yanlıştır diyor diye merak etmeden sadece cevabı istiyorsun.
Daha önceden dediğim gibi, senin, sorunun doğru olduğunun dayanak yeri burası.
Hem ben bu ispatın doğru olduğunun iddia etmiyorum. Bu bir yorumlansın bakalım. Hem de arada çıksın bu iş. Bu ispat geçerli değilse, senin sorunun da hiçbir anlamı yok.
Aslında merak edip bakmıştım hatta cevapda yazdım tartışmalara . İspatı da şu şekilde yaptım doğru oldumu acaba?
AXB={(x,y)|x∈A ve y∈B} ve CXD={(z,k)| z∈C ve k ∈D }
tanımını kullanılarak
(AXB)X (CXD)
={(x,y,z,k)|(x,y)∈(AxB) ve (z,k)∈ (CXD)}
={(x,y,z,k)|(x∈A ve y∈ B) ve (z∈C ve k∈D))}
={(x,y,z,k)|x∈A ve (y∈B ve z∈C) ve k∈D}
={(x,y,z,k)| x∈A ve (y,z) ∈ (BxC) ve k ∈D}
=Ax(BxC)xD
İlk ispat bundan daha önemli çünkü,
AX(BXC) nin boyutu 3 se, ispat doğru. Yok eğer, AX(BXC) yi 2 boyutlu olarak alırsak, 2 ispatın da, 1. satırları yanlış oluyor. Hatta, (x,y,z) yazımı da yanlış oluyor. Ama bence böyle , bilmiyorum.
Burada sıkıntı şu.
A={a} , B={b}, C={c} olmak üzere,
AX(BXC)={(a,b,c)}
mi, yoksa,
AX(BXC)={(a,(b,c))}
mi?
1. ise, sorun yok. 2. ise, yandı keten helvası :)
(AxB)x(CxD) ve Ax(BxC)xD birbirinden farklı şeyler. Ama bunlar birbirine denktir. Eşit küme ve denk kümeler arasındaki fark gibi verilen iki küme biribirinden farklıdır. İspatını arkadaşlar zaten vermiş.
Verilen iki küme aynı zamanda AxBxCxD kümesine de denktir ama ikisi de bu kümeden de farklı kümelerdir.
(AxB)x(CxD) kümesi sıralı ikililerden oluşur ve bu kümenin her elemanının birinci bileşeni AxB nin elemanı olan bir sıralı ikili, ikinci bileşeni CxD nin elemanı olan bir sıralı ikilidir.
Ax(BxC)xD kümesi sıralı üçlülerden oluşur ve bu kümenin her elemanının birinci bileşeni A'nın bir elemanı, ikinci bileşeni BxC'nin elemanı olan bir sıralı ikili, üçüncü bileşeni D'nin bir elemanıdır.
Şöyle gösterirsem daha anlaşılır olabilir:
AxBxCxD={(a,b,c,d): a∈A, b∈b, c∈C, d∈D}
(AxB)x(CxD)={ ( (a,b), (c,d) ) : (a,b)∈AxB, (c,d)∈CxD}={ ( (a,b), (c,d) ): a∈A, b∈B, c∈C, d∈D}
Ax(BxC)xD = { (a, (b,c), d): a∈A, (b,c)∈BxC, d∈D } = { (a, (b,c), d): a∈A, b∈B, c∈C, d∈D }
Bu kümelerin üçü de denktir ama eşit değiller.
9. sınıf kitaplarında AxB≠BxA söylenir
hemen arkasındanda Ax(BxC)=(AxB)xC şeklinde eşitliği verirler bunu dikkate almamak gerek öğrencilere yanlış olduğunu söylerim ama ne zaman kitap hatalı desek hocam yine çözüm yapamadınız kitap yanlış deyip kaçıyosunuz değerlendirmesiyle karşı karşıya kalıyoruz:) ispatını yapsak bile
ilk yorumumda söylediğim gibi bunların eleman sayıları eşittir kendileri eşit değil ama bu yanlış kitaplarda yazılmaya devam ediyor.