9, 10 ve 11 sayıları ile bölünebilme kurallarını elde ediniz
Şöyle 3 deneme yapayım, umarım işinize yarar.
10 tabanında sayılar çözümlenirken kaçıncı basamakta ise 10x şeklinde çarpılırlar. 10x mod9'da 1'e denk olacağından sayının rakamları toplamı 9'un katı olmalıdır ki sayı 9 ile bölünebilsin.
10 ile bölünebilme kuralı ile ilgili olarak ise, sayıyı çözümlediğimizde ilk basamak hariç bütün basamaklarda 10x çarpanı bulunur. Bu nedenle ilk basamak 0 olmalıdır.
11 ile bölünebilme kuralı ile ilgili olarak, 10x, mod11'de x çiftse 1'e, x tekse -1'e eşittir. Bu nedenle rakamları bir -1, bir +1 ile çarparak topladığımzda 11'e bölebiliyorsak, sayı 11'e bölünecektir.
İyi günler.
10 tabanında sayılar çözümlenirken kaçıncı basamakta ise 10x şeklinde çarpılırlar. 10x mod9'da 1'e denk olacağından sayının rakamları toplamı 9'un katı olmalıdır ki sayı 9 ile bölünebilsin.
10 ile bölünebilme kuralı ile ilgili olarak ise, sayıyı çözümlediğimizde ilk basamak hariç bütün basamaklarda 10x çarpanı bulunur. Bu nedenle ilk basamak 0 olmalıdır.
11 ile bölünebilme kuralı ile ilgili olarak, 10x, mod11'de x çiftse 1'e, x tekse -1'e eşittir. Bu nedenle rakamları bir -1, bir +1 ile çarparak topladığımzda 11'e bölebiliyorsak, sayı 11'e bölünecektir.
İyi günler.
Ayrıca; n∈N≥2 olmak üzere, n tabanında , bir sayının n'ye bölümünden kalan, o sayının son rakamına, n-1'e bölümünden kalanı sayının rakamları toplamının n-1'e bölümünden kalana, n+1'e bölümünden kalanı ise sayının rakamları sağdan başlanarak + , - şeklinde gruplandırıldığında elde edilen sayının n+1'e bölümünden kalandır.
İspat: Sayımızı, a,b,c,d ∈ { x | x∈N ve 0≤x≤n-1} olmak üzere;
(..........abcd)n şeklinde yazabiliriz. Burada kalan bulma kurallarını çıkarabilmemiz için modüler aritmetik kullanmalıyız. Buradan modüler aritmetiğe geçiş yapabilmemiz için sayıyı 10'luk tabana çevirmemiz gerekir. Çünkü modüler aritmetik 10'luk tabanda tanımlanmış. Sayıyı onluk tabana geçirmek için çözümleyelim.
(..........dcba)n=a+b.n+c.n²+d.n³+..... olur.
Sayının n+1'e bölümünden kalan demek, o sayının tamsayılarda "n+1 denklink sınıfındaki temsilcisi" demektir. Dolayısıyla o sayı mod (n+1)'de incelemek gerekir.
n≡-1 (mod n+1) olduğundan;
(..........dcba)n=a+b.n+c.n²+d.n³≡a-b+c-d+....(mod n+1) olur.
Dolayısıyla; sayının mod (n+1)'deki değerini bulmak için rakamları sağdan + - diye gruplandırılır. Ve elde ettiğimiz yeni sayının n+1'e bölümünden kalanı, bize baştaki sayının n+1'den kalanını verir.
Bu işlemi n ve n-1 için de yaparak o bölünebilme kurallarını da bulabilirsiniz.
İspat: Sayımızı, a,b,c,d ∈ { x | x∈N ve 0≤x≤n-1} olmak üzere;
(..........abcd)n şeklinde yazabiliriz. Burada kalan bulma kurallarını çıkarabilmemiz için modüler aritmetik kullanmalıyız. Buradan modüler aritmetiğe geçiş yapabilmemiz için sayıyı 10'luk tabana çevirmemiz gerekir. Çünkü modüler aritmetik 10'luk tabanda tanımlanmış. Sayıyı onluk tabana geçirmek için çözümleyelim.
(..........dcba)n=a+b.n+c.n²+d.n³+..... olur.
Sayının n+1'e bölümünden kalan demek, o sayının tamsayılarda "n+1 denklink sınıfındaki temsilcisi" demektir. Dolayısıyla o sayı mod (n+1)'de incelemek gerekir.
n≡-1 (mod n+1) olduğundan;
(..........dcba)n=a+b.n+c.n²+d.n³≡a-b+c-d+....(mod n+1) olur.
Dolayısıyla; sayının mod (n+1)'deki değerini bulmak için rakamları sağdan + - diye gruplandırılır. Ve elde ettiğimiz yeni sayının n+1'e bölümünden kalanı, bize baştaki sayının n+1'den kalanını verir.
Bu işlemi n ve n-1 için de yaparak o bölünebilme kurallarını da bulabilirsiniz.