Ardışık sayıların toplamı formülü
Ardışık çift sayıların toplamı formülü
2 + 4 + 6 + ... + 2n = n.(n+1)
Ardışık tek sayıların toplamı formülü
1 + 3 + 5 + .... + (2n − 1) = n.n=n2
Ardışık tam kare sayıların toplamı formülü
Ardışık ve küp şeklindeki sayıların toplamları formülü
Ardışık ve 4. dereceli sayıların toplamı formülü
Terim sayısını veren formül
Belirli bir sayıdan başlayan ve sabit artış gösteren dizilerin toplam formülü
r: ilk terim n:son terim ve x: ardışık iki terimin farkı ise bu toplam
%2B(r%2B2x)%2B...%2Bn%3D%20%5Cfrac%7B(n%2Br).(n-r%2Bx)%7D%7B2%20%5Ccdot%20x%7D%20)
1 + 2 + 3 +....+ n =
n.(n + 1)
2
Ardışık çift sayıların toplamı formülü
2 + 4 + 6 + ... + 2n = n.(n+1)
Ardışık tek sayıların toplamı formülü
1 + 3 + 5 + .... + (2n − 1) = n.n=n2
Ardışık tam kare sayıların toplamı formülü
12 + 22 + 32 +....+ n2 =
n.(n+1)(2n+1)
6
Ardışık ve küp şeklindeki sayıların toplamları formülü
13 + 23 + 33 +....+ n3 = [
n.(n + 1)
2
]2
Ardışık ve 4. dereceli sayıların toplamı formülü
14 + 24 + 34 +....+ n4 =
n.(n+1)(2n+1)(3n²+3n+1)
6
Terim sayısını veren formül
Terim Sayısı= [
büyük terim - küçük terim
artış miktarı
] +1
Belirli bir sayıdan başlayan ve sabit artış gösteren dizilerin toplam formülü
r: ilk terim n:son terim ve x: ardışık iki terimin farkı ise bu toplam
ÖRNEK 1:
n'den (2n)'e kadar olan ardışık doğal sayıların toplamı x, 1 den (n+1) e kadar olan ardışık doğal sayıların toplamı y dir.
x-y=195
olduğuna göre, n kaçtır ?
ÇÖZÜM 1:
n'den (2n)'e kadar olan sayıların toplamı:
n+(n+1)+(n+2)+....(2n)=x verilmiş
Yukarıda verilen
r: ilk terim n:son terim ve x: ardışık iki terimin farkı ise bu toplam:
Formülunu kullanalım.
1'den (n+1)'e kadar olan ardışık sayıların toplamı:
1+2+3+....(n+1)=y
Toplamı için yukarıda verilen formülü uygularsak;
olur.
Soruda x-y=195 verilmiş
Bulduğumuz x ve y değerlerini yerine yazalım
(n+1).(2n-2)=195.2
(n+1).2.(n-1)=195.2
n²-1=195
n²=196
n=14 bulunur.
n'den (2n)'e kadar olan ardışık doğal sayıların toplamı x, 1 den (n+1) e kadar olan ardışık doğal sayıların toplamı y dir.
x-y=195
olduğuna göre, n kaçtır ?
ÇÖZÜM 1:
n'den (2n)'e kadar olan sayıların toplamı:
n+(n+1)+(n+2)+....(2n)=x verilmiş
Yukarıda verilen
r: ilk terim n:son terim ve x: ardışık iki terimin farkı ise bu toplam:
Formülunu kullanalım.
x=
(2n+n).(2n-n+1)
2.1
=
(3n).(n+1)
2
1'den (n+1)'e kadar olan ardışık sayıların toplamı:
1+2+3+....(n+1)=y
Toplamı için yukarıda verilen formülü uygularsak;
y=
(n+1).(n+2)
2
olur.
Soruda x-y=195 verilmiş
Bulduğumuz x ve y değerlerini yerine yazalım
(n+1).(3n)
2
-
(n+1).(n+2)
2
=195
=
(n+1).(3n)-(n+1).(n+2)
2
=195
=
(n+1).(3n-n-2)
2
=195
(n+1).(2n-2)=195.2
(n+1).2.(n-1)=195.2
n²-1=195
n²=196
n=14 bulunur.
ÖRNEK 2:
A=2+4+6+...+2n
B=1+2+3+...+n
A-B=15 olduğuna göre, n kaçtır ?
ÇÖZÜM 2:
A=2+4+6+...+2n
B=1+2+3+...+n
ifadeleri taraf tarafa çıkartalım.
A-B=1+2+3...+n olacaktır.
n.(n+1)=30
n=5 bulunur.
A=2+4+6+...+2n
B=1+2+3+...+n
A-B=15 olduğuna göre, n kaçtır ?
ÇÖZÜM 2:
A=2+4+6+...+2n
B=1+2+3+...+n
ifadeleri taraf tarafa çıkartalım.
A-B=1+2+3...+n olacaktır.
1+2+3....+n=
n.(n+1)
2
n.(n+1)
2
=15
n.(n+1)=30
n=5 bulunur.
ÖRNEK 3:
Her adımda * sayısı bir kurala göre artmaktadır.
Karedeki toplam * sayısı 650 olduğuna göre, Bu işlem kaçıncı adıma kadar devam etmiştir.
ÇÖZÜM 3:
Dikkat edilirse , Her adımın karesi kadar * konulmakta yani bu ifade,
Formulu ile bulunur.
n.(n+2).(2n+1)=3900
12.14.26=3900 olduğuna göre n=12 bulunur.
1. Adım: *
2. Adım: **|**
3.Adım: ***| ***| ***
4.Adım:****|****|****|****|****
.
.
.
Her adımda * sayısı bir kurala göre artmaktadır.
Karedeki toplam * sayısı 650 olduğuna göre, Bu işlem kaçıncı adıma kadar devam etmiştir.
ÇÖZÜM 3:
Dikkat edilirse , Her adımın karesi kadar * konulmakta yani bu ifade,
1²+2²+3²+....n²=
n.(n+2).(2n+1)
6
Formulu ile bulunur.
n.(n+2).(2n+1)
6
=650
n.(n+2).(2n+1)=3900
12.14.26=3900 olduğuna göre n=12 bulunur.
Soru: 10+12+14+...+48+50=?
Terim sayısı: [(50-10)/2]+1=21 terim vardır.
Bu terimlerin toplamı: [(50+10)/2].21=30.21=630
Soru: Ardışık 4 çift sayının toplamı, bu sayılardan en büyüğünün 3 katından 20 fazladır.En büyük ile en küçüğünün toplamı kaçtır?
sayılarımız ardışık ve çifttir. ilkine a dersek 2şer 2 şer artar.
a,a+2,a+4,a+6
Bu sayıların toplamının en büyüğünün 4 katının 20 fazlası olduğunu söylemiş.
4a+12=(a+6).3+20
4a+12=3a+38
a=26 en küçüğü, a+6 = 32 en büyüğü
26+32=58
Soru: Ardışık 12 sayının toplamı 318 ise en küçük ile en büyüğün toplamı kaçtır?
a,a+1,a+2,a+3,......,a+11
Burda 12 tane a vardır ve 1+2+3+......+11 değeri vardır.
ardışık sayıların toplamı gaus yönteminden n.(n+1)/2 den 11*12/2)=66
12a+66=318
12a=252
a=21
Soru: Ardışık 2 tek doğal sayının çarpımı 195 ise toplamları kaçtır?
bir sayısı çift bir sayıyla çarparsanız çift olur. öyleyse sayımız n olursa 2n çift olur. 2n'den tek bir sayı çıkarılırsa tek bir sayı oluşur. Öyleyse ilk sayımız (2n-1) olsun. Öteki de ardışığı olduğundan "2n+1" olmalı.
(2n-1).(2n+1)=195
4n²-1=195
4n²=196
n²=49
n=7 olur. sayımızın biri 2n-1=2.(7)-1=13, öteki (2n+1)=15 olur. 15+13=28.
Soru: 21+25+29+........+61=?
ardışık bir ifade ve artma miktarı belli : 4
[(son terim-ilk terim)/(artma miktarı)+1].[(son terim+ilk terim)/2]'yi kullanalım.
[(61-21)/4+1].[(61+21)/2]=11.41=451
Terim sayısı: [(50-10)/2]+1=21 terim vardır.
Bu terimlerin toplamı: [(50+10)/2].21=30.21=630
Soru: Ardışık 4 çift sayının toplamı, bu sayılardan en büyüğünün 3 katından 20 fazladır.En büyük ile en küçüğünün toplamı kaçtır?
sayılarımız ardışık ve çifttir. ilkine a dersek 2şer 2 şer artar.
a,a+2,a+4,a+6
Bu sayıların toplamının en büyüğünün 4 katının 20 fazlası olduğunu söylemiş.
4a+12=(a+6).3+20
4a+12=3a+38
a=26 en küçüğü, a+6 = 32 en büyüğü
26+32=58
Soru: Ardışık 12 sayının toplamı 318 ise en küçük ile en büyüğün toplamı kaçtır?
a,a+1,a+2,a+3,......,a+11
Burda 12 tane a vardır ve 1+2+3+......+11 değeri vardır.
ardışık sayıların toplamı gaus yönteminden n.(n+1)/2 den 11*12/2)=66
12a+66=318
12a=252
a=21
Soru: Ardışık 2 tek doğal sayının çarpımı 195 ise toplamları kaçtır?
bir sayısı çift bir sayıyla çarparsanız çift olur. öyleyse sayımız n olursa 2n çift olur. 2n'den tek bir sayı çıkarılırsa tek bir sayı oluşur. Öyleyse ilk sayımız (2n-1) olsun. Öteki de ardışığı olduğundan "2n+1" olmalı.
(2n-1).(2n+1)=195
4n²-1=195
4n²=196
n²=49
n=7 olur. sayımızın biri 2n-1=2.(7)-1=13, öteki (2n+1)=15 olur. 15+13=28.
Soru: 21+25+29+........+61=?
ardışık bir ifade ve artma miktarı belli : 4
[(son terim-ilk terim)/(artma miktarı)+1].[(son terim+ilk terim)/2]'yi kullanalım.
[(61-21)/4+1].[(61+21)/2]=11.41=451
Diğer çözümlü sorular alttadır.