[Serkan A.]

Ardışık sayıların toplamı formülü

1 + 2 + 3 +....+ n =

n.(n + 1)

2

Ardışık çift sayıların toplamı formülü

2 + 4 + 6 + ... + 2n = n.(n+1)


Ardışık tek sayıların toplamı formülü

1 + 3 + 5 + .... + (2n − 1) = n.n=n²


Ardışık tam kare sayıların toplamı formülü

1² + 2² + 3² +....+ n² =

n.(n+1)(2n+1)

6

Ardışık ve küp şeklindeki sayıların toplamları formülü

1³ + 2³ + 3³ +....+ n³ = [

n.(n + 1)

2

]²

Ardışık ve 4. dereceli sayıların toplamı formülü

1⁴ + 2⁴ + 3⁴ +....+ n⁴ =

n.(n+1)(2n+1)(3n²+3n+1)

6

Terim sayısını veren formül

Terim Sayısı= [

büyük terim - küçük terim

artış miktarı

] +1

Belirli bir sayıdan başlayan ve sabit artış gösteren dizilerin toplam formülü

r: ilk terim n:son terim ve x: ardışık iki terimin farkı ise bu toplam

[duygu95]

ÖRNEK 1:

n'den (2n)'e kadar olan ardışık doğal sayıların toplamı x, 1 den (n+1) e kadar olan ardışık doğal sayıların toplamı y dir.

x-y=195

olduğuna göre, n kaçtır ?

ÇÖZÜM 1:

n'den (2n)'e kadar olan sayıların toplamı:

n+(n+1)+(n+2)+....(2n)=x verilmiş

Yukarıda verilen

r: ilk terim n:son terim ve x: ardışık iki terimin farkı ise bu toplam:



Formülunu kullanalım.

x=

(2n+n).(2n-n+1)

2.1

=

(3n).(n+1)

2

1'den (n+1)'e kadar olan ardışık sayıların toplamı:

1+2+3+....(n+1)=y

Toplamı için yukarıda verilen formülü uygularsak;

y=

(n+1).(n+2)

2

olur.

Soruda x-y=195 verilmiş

Bulduğumuz x ve y değerlerini yerine yazalım

(n+1).(3n)

2

-

(n+1).(n+2)

2

=195

=

(n+1).(3n)-(n+1).(n+2)

2

=195

=

(n+1).(3n-n-2)

2

=195

(n+1).(2n-2)=195.2

(n+1).2.(n-1)=195.2

n²-1=195

n²=196

n=14 bulunur.

[duygu95]

ÖRNEK 2:

A=2+4+6+...+2n

B=1+2+3+...+n

A-B=15 olduğuna göre, n kaçtır ?


ÇÖZÜM 2:

A=2+4+6+...+2n

B=1+2+3+...+n

ifadeleri taraf tarafa çıkartalım.

A-B=1+2+3...+n olacaktır.

1+2+3....+n=

n.(n+1)

2

n.(n+1)

2

=15

n.(n+1)=30

n=5 bulunur.

[duygu95]

ÖRNEK 3:

1. Adım:      *

2. Adım:   **|**

3.Adım:  ***| ***| ***

4.Adım:****|****|****|****|****

.

.

.

Her adımda * sayısı bir kurala göre artmaktadır.

Karedeki toplam * sayısı 650 olduğuna göre, Bu işlem kaçıncı adıma kadar devam etmiştir.


ÇÖZÜM 3:

Dikkat edilirse , Her adımın karesi kadar * konulmakta yani bu ifade,

1²+2²+3²+....n²=

n.(n+2).(2n+1)

6

Formulu ile bulunur.

n.(n+2).(2n+1)

6

=650

n.(n+2).(2n+1)=3900

12.14.26=3900 olduğuna göre n=12 bulunur.

[Serkan A.]

Soru: 10+12+14+...+48+50=?

Terim sayısı: [(50-10)/2]+1=21 terim vardır.

Bu terimlerin toplamı: [(50+10)/2].21=30.21=630



Soru: Ardışık 4 çift sayının toplamı, bu sayılardan en büyüğünün 3 katından 20 fazladır.En büyük ile en küçüğünün toplamı kaçtır?

sayılarımız ardışık ve çifttir. ilkine a dersek 2şer 2 şer artar.
a,a+2,a+4,a+6
Bu sayıların toplamının en büyüğünün 4 katının 20 fazlası olduğunu söylemiş.

4a+12=(a+6).3+20
4a+12=3a+38
a=26 en küçüğü, a+6 = 32 en büyüğü
26+32=58



Soru: Ardışık 12 sayının toplamı 318 ise en küçük ile en büyüğün toplamı kaçtır?

a,a+1,a+2,a+3,......,a+11
Burda 12 tane a vardır ve 1+2+3+......+11 değeri vardır.

ardışık sayıların toplamı gaus yönteminden n.(n+1)/2 den 11*12/2)=66
12a+66=318
12a=252
a=21



Soru: Ardışık 2 tek doğal sayının çarpımı 195 ise toplamları kaçtır?

bir sayısı çift bir sayıyla çarparsanız çift olur. öyleyse sayımız n olursa 2n çift olur. 2n'den tek bir sayı çıkarılırsa tek bir sayı oluşur. Öyleyse ilk sayımız (2n-1) olsun. Öteki de ardışığı olduğundan "2n+1" olmalı.
(2n-1).(2n+1)=195
4n²-1=195
4n²=196
n²=49
n=7 olur. sayımızın biri 2n-1=2.(7)-1=13, öteki (2n+1)=15 olur. 15+13=28.


Soru: 21+25+29+........+61=?

ardışık bir ifade ve artma miktarı belli : 4
[(son terim-ilk terim)/(artma miktarı)+1].[(son terim+ilk terim)/2]'yi kullanalım.
[(61-21)/4+1].[(61+21)/2]=11.41=451