Mutlak Değer Nedir, Mutlak Değer Özellikleri Kuralları Formülleri

Sayı doğrusu üzerinde bir x ∈ R sayısının sıfıra olan uzaklığına Mutlak Değer denir.
|x| ifadesi alttaki şartlarda belirltilen değerlerileri alır.

1) x > 0 ise |x|= x
2) x < 0 ise |x|= -x
3) x=0 ise |x|= 0

Böyle olduğu için bilinen bir sayının mutlak değeri bulunmak istendiğinde her zaman pozitif değerler alacaktır.

Mutlak Değerin Özellikleri

1) |x| ≥ 0

2) |x|=|-x|. Örneğin |x-y|=|y-x|, |3-a|=|a-3| gibi

3) |x²|=|x|²= x² ve √x = |x|

4) |x.y|=|x|.|y|

5) |x/y|=|x|/|y|

6) c>0 için |x-a|= c ise x-a = ± c dir. x = a ± c

7) |x-a|≤ c için -c ≤ x-a ≤ c => a-c ≤ x ≤ a+c

8) |x-a|≥ c için x-a ≥ c veya x-a ≤ -c

9) ||a| - |b|| ≤ |a+b| ≤ |a|+|b|

ÖRNEK 1:

0≤a<2 olmak üzere,

|2-a-|3+|a-2|||

işleminin sonucu nedir ?

ÇÖZÜM 1:

|2-a-|3+|a-2|||

Öncelikle en içteki mutlak değerli ifadeye bakalım.

a<2 şartı soruda verilmiş o halde a-2 ifadesi negatif bir ifade olacaktır. |a-2| ifadesinin pozitif olması için |a-2|=-(a-2) olarak dışarıya çıkar.

|2-a-|3-a+2||=|2-a-|5-a||

Yine en içteki mutlak değerli ifadeye bakalım a<2 olduğundan 5-a ifadesi daima pozitiftir ve |5-a|=5-a olarak yani olduğu gibi dışarı çıkar.

Bu durumda:

|2-a-(5-a)|=|2-a-5+a|=|-3|=-(-3)=3 bulunur.

ÖRNEK 2:

|5k-1|=-5k+1

ise k'nın alabileceği iki farklı tam sayı değerinin toplamı en çok kaç olabilir ?

ÇÖZÜM 2:

|5k-1| ifadesi -5k+1 olarak dışarı çıkmış ise 5k-1≤0 olur.

Yani 5k≤1 ise k≤1/5 olur.

Bu durumda k'nın alabileceği en büyük iki tam sayı 0 ve -1 olabilir.

0+(-1)=-1 bulunur.

ÖRNEK 3:

|1+|x-1||=21

ise, x'in alabileceği değerler toplamı kaçtır ?

ÇÖZÜM 3:

|1+|x-1||=21

Burada 2 durum vardır. Bunları ayrı ayrı inceleyelim

i) x>1 ise x-1 ifadesi |x-1|=x-1 olarak dışarıya çıkar.

|1+x-1|=21

|x|=21

x₁=21 olur.

ii) x<1 ise x-1 ifadesi negatif olacağından |x-1|=-x+1 olur.

|1-x+1|=21

|2-x|=21

2-x=21

x₂=-19 olur.

x₁+x₂=21-19=2 olarak bulunur.

ÖRNEK 4:

2<|3-a|+1≤7

eşitsizliğini sağlayan tam sayıların toplamı kaçtır ?

ÇÖZÜM 4:

2<|3-a|+1≤7 her taraftan 1 çıkaralım.

2-1<|3-a|+1-1≤7-1

1<|3-a|≤6 bu ifade ise

1<3-a≤6 ya da 1<a-3≤6 olur.

1. ifadeye bakalım:

1<3-a≤6 (her taraftan 3 çıkaralım)

1-3<3-a-3≤6-3

-2<-a≤3 ise bu ifadeyi (-) ile çarptığımızda işaret ve yön değişir.

2>a≥-3 olur.

Ç.K=(2,-3]

2. ifadeye bakalım:

1<a-3≤6 (her tarafa 3 ekleyelim)

1+3<a-3+3≤6+3

4<a≤9 olur.

Ç.K=(4,9]

Bulduğumuz eşitsizliklerin çözüm kümelerinin birleşimi

Ç.K=[-3,2)U(4,9]

a=-3,-2,-1,0,1
a=5,6,7,8,9

a'nın alabileceği değerler toplamı:

-3-2-1+0+1+5+6+7+8+9=30

Soru 1

x<2 ise |x-2| ifadesinin eşiti nedir ?


Çözüm

Bunu iki farklı yolla çözelim.İlk önce bu x sayısı 2'den küçük olmalıdır.Küçük bir sayıdan büyük bir sayıyı çıkartıyoruz.Bu nedenle mutlak değerin içerisi negatif olacaktır.Negatif olduğundan dolayı ters işaretli çıkacaktır.

Veyahut , x<2 verilmiş zaten 2'yi sol tarafa yollarsak sağ taraf 0 olacaktır.
x-2<0 olacaktır yani.Bu durumda x-2 0'dan küçük olduğundan ters işaretli çıkacaktır.

O halde cevabımız (-x+2) = (2-x)



------------------------------------------------------

Soru 2

|2x-10| ifadesini en küçük yapan x değerini bulalım.

Çözüm

Bizden istenen x'in en küçük olması değil ifadenin en küçük olması mutlak değerli bir ifade en az 0 olabilir.0'dan küçük olamaz. O halde

2x-10=0
2x=10
x=5 olur.

-----------------------------------------------------

Soru 3

A=|x-3|+|x+4| ise A'nın alabileceği en küçük değer kaçtır?

Çözüm

İfadenin en küçük olması için mutlak değerli ifade en az 0 olacaktır.Bu nedenle her ikisini ilk önce 0'a eşitleyelim.Daha sonra bulduğumuz x değerlerini yerlerine koyalım.

x-3=0 için
x=3 olur.(Yerine koyalım)

A=0+|7|
A=7 bulduk.Bir de diğer x değeri için bakalım

.......

x+4=0 için
x=-4

A=|-7|=7 olur.Her ikisinde de 7 bulduk.O halde cevabımız 7 olacaktır.Eğer birisi 7 diğeri daha küçük bir değer olsaydı cevabımız küçük değer olcaktı.

---------------------------------------------------

Soru 4

|x-y+1|+|x+2|= 0 ise y kaçtır ?

Çözüm

Dediğimiz gibi bir mutlak değerli ifade en az 0 olabilir.Mesela birisi -1 diğeri 1 olamaz.Bu durumda sonucun 0 olması için her iki ifadenin de 0 olması gerekmektedir.

x-y+1=0
x-y=-1

x+2=0
x=-2

-2-y=-1
y=-1 bulunur.


---------------------------------------------------------------

Soru 5

|2x-5|=7 denkleminin çözüm kümesi nedir ?

Çözüm

Bunu ilk öncelikle farklı bir örnekle gösterelim.

|x|=2 için
x=2 veya x=-2 olabilir.Değil mi ?

Burada da

2x-5=7 ve 2x-5=-7
2x=12 2x=-2
x=6 x=-1

ÇK={6,-1}

----------------------------------------------------------

Soru 6

3|x-5|+5=2 denkleminin çözüm kümesi nedir ?

Çözüm

3|x-5|=-3
|x-5|=-1 olur.

Mutlak değerli bir ifade negatif olamaz.
ÇK = {}

------------------------------------------------





*****