Sayı doğrusu üzerinde bir x ∈ R sayısının sıfıra olan uzaklığına Mutlak Değer denir.
|x| ifadesi alttaki şartlarda belirltilen değerlerileri alır.
1) x > 0 ise |x|= x
2) x < 0 ise |x|= -x
3) x=0 ise |x|= 0
Böyle olduğu için bilinen bir sayının mutlak değeri bulunmak istendiğinde her zaman pozitif değerler alacaktır.
1) |x| ≥ 0
2) |x|=|-x|. Örneğin |x-y|=|y-x|, |3-a|=|a-3| gibi
3) |x²|=|x|²= x² ve √x = |x|
4) |x.y|=|x|.|y|
5) |x/y|=|x|/|y|
6) c>0 için |x-a|= c ise x-a = ± c dir. x = a ± c
7) |x-a|≤ c için -c ≤ x-a ≤ c => a-c ≤ x ≤ a+c
8) |x-a|≥ c için x-a ≥ c veya x-a ≤ -c
9) ||a| - |b|| ≤ |a+b| ≤ |a|+|b|
ÖRNEK 1:
0≤a<2 olmak üzere,
|2-a-|3+|a-2|||
işleminin sonucu nedir ?
ÇÖZÜM 1:
|2-a-|3+|a-2|||
Öncelikle en içteki mutlak değerli ifadeye bakalım.
a<2 şartı soruda verilmiş o halde a-2 ifadesi negatif bir ifade olacaktır. |a-2| ifadesinin pozitif olması için |a-2|=-(a-2) olarak dışarıya çıkar.
|2-a-|3-a+2||=|2-a-|5-a||
Yine en içteki mutlak değerli ifadeye bakalım a<2 olduğundan 5-a ifadesi daima pozitiftir ve |5-a|=5-a olarak yani olduğu gibi dışarı çıkar.
Bu durumda:
|2-a-(5-a)|=|2-a-5+a|=|-3|=-(-3)=3 bulunur.
ÖRNEK 2:
|5k-1|=-5k+1
ise k'nın alabileceği iki farklı tam sayı değerinin toplamı en çok kaç olabilir ?
ÇÖZÜM 2:
|5k-1| ifadesi -5k+1 olarak dışarı çıkmış ise 5k-1≤0 olur.
Yani 5k≤1 ise k≤1/5 olur.
Bu durumda k'nın alabileceği en büyük iki tam sayı 0 ve -1 olabilir.
0+(-1)=-1 bulunur.
ÖRNEK 3:
|1+|x-1||=21
ise, x'in alabileceği değerler toplamı kaçtır ?
ÇÖZÜM 3:
|1+|x-1||=21
Burada 2 durum vardır. Bunları ayrı ayrı inceleyelim
i) x>1 ise x-1 ifadesi |x-1|=x-1 olarak dışarıya çıkar.
|1+x-1|=21
|x|=21
x₁=21 olur.
ii) x<1 ise x-1 ifadesi negatif olacağından |x-1|=-x+1 olur.
|1-x+1|=21
|2-x|=21
2-x=21
x₂=-19 olur.
x₁+x₂=21-19=2 olarak bulunur.
ÖRNEK 4:
2<|3-a|+1≤7
eşitsizliğini sağlayan tam sayıların toplamı kaçtır ?
ÇÖZÜM 4:
2<|3-a|+1≤7 her taraftan 1 çıkaralım.
2-1<|3-a|+1-1≤7-1
1<|3-a|≤6 bu ifade ise
1<3-a≤6 ya da 1<a-3≤6 olur.
1. ifadeye bakalım:
1<3-a≤6 (her taraftan 3 çıkaralım)
1-3<3-a-3≤6-3
-2<-a≤3 ise bu ifadeyi (-) ile çarptığımızda işaret ve yön değişir.
2>a≥-3 olur.
Ç.K=(2,-3]
2. ifadeye bakalım:
1<a-3≤6 (her tarafa 3 ekleyelim)
1+3<a-3+3≤6+3
4<a≤9 olur.
Ç.K=(4,9]
Bulduğumuz eşitsizliklerin çözüm kümelerinin birleşimi
Ç.K=[-3,2)U(4,9]
a=-3,-2,-1,0,1
a=5,6,7,8,9
a'nın alabileceği değerler toplamı:
-3-2-1+0+1+5+6+7+8+9=30
Soru 1
x<2 ise |x-2| ifadesinin eşiti nedir ?
Çözüm
Bunu iki farklı yolla çözelim.İlk önce bu x sayısı 2'den küçük olmalıdır.Küçük bir sayıdan büyük bir sayıyı çıkartıyoruz.Bu nedenle mutlak değerin içerisi negatif olacaktır.Negatif olduğundan dolayı ters işaretli çıkacaktır.
Veyahut , x<2 verilmiş zaten 2'yi sol tarafa yollarsak sağ taraf 0 olacaktır.
x-2<0 olacaktır yani.Bu durumda x-2 0'dan küçük olduğundan ters işaretli çıkacaktır.
O halde cevabımız (-x+2) = (2-x)
------------------------------------------------------
Soru 2
|2x-10| ifadesini en küçük yapan x değerini bulalım.
Çözüm
Bizden istenen x'in en küçük olması değil ifadenin en küçük olması mutlak değerli bir ifade en az 0 olabilir.0'dan küçük olamaz. O halde
2x-10=0
2x=10
x=5 olur.
-----------------------------------------------------
Soru 3
A=|x-3|+|x+4| ise A'nın alabileceği en küçük değer kaçtır?
Çözüm
İfadenin en küçük olması için mutlak değerli ifade en az 0 olacaktır.Bu nedenle her ikisini ilk önce 0'a eşitleyelim.Daha sonra bulduğumuz x değerlerini yerlerine koyalım.
x-3=0 için
x=3 olur.(Yerine koyalım)
A=0+|7|
A=7 bulduk.Bir de diğer x değeri için bakalım
.......
x+4=0 için
x=-4
A=|-7|=7 olur.Her ikisinde de 7 bulduk.O halde cevabımız 7 olacaktır.Eğer birisi 7 diğeri daha küçük bir değer olsaydı cevabımız küçük değer olcaktı.
---------------------------------------------------
Soru 4
|x-y+1|+|x+2|= 0 ise y kaçtır ?
Çözüm
Dediğimiz gibi bir mutlak değerli ifade en az 0 olabilir.Mesela birisi -1 diğeri 1 olamaz.Bu durumda sonucun 0 olması için her iki ifadenin de 0 olması gerekmektedir.
x-y+1=0
x-y=-1
x+2=0
x=-2
-2-y=-1
y=-1 bulunur.
---------------------------------------------------------------
Soru 5
|2x-5|=7 denkleminin çözüm kümesi nedir ?
Çözüm
Bunu ilk öncelikle farklı bir örnekle gösterelim.
|x|=2 için
x=2 veya x=-2 olabilir.Değil mi ?
Burada da
2x-5=7 ve 2x-5=-7
2x=12 2x=-2
x=6 x=-1
ÇK={6,-1}
----------------------------------------------------------
Soru 6
3|x-5|+5=2 denkleminin çözüm kümesi nedir ?
Çözüm
3|x-5|=-3
|x-5|=-1 olur.
Mutlak değerli bir ifade negatif olamaz.
ÇK = {}
------------------------------------------------
https://www.matematiktutkusu.com/for...e/mutlaks1.png
*****
https://www.matematiktutkusu.com/for...e/mutlaks2.png