1. #1

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer

    Sponsorlu Bağlantılar

    Bir denklem sorusu

    x12+x22+x32+...+x132=13x1x2x3...x13 denklemini sağlayan ve en az bir tanesi 2010 dan büyük olan (x1,x2,x3,...,x13) pozitif tamsayıları bulunuz.

  2. #2

    Statü
    Grubu
    Üye
    İş
    Veli

    Sponsorlu Bağlantılar

    bu denklem bir M tamsayısına eşittir. Mesela x13'ün 2010'dan büyük olduğunu varsayarsak buna göre;
    x1*x1+x2*x2+..x13*x13=M=13*x1*x2*...*x13=13*K*x13 denklemini sağlayan bir K tamsayısı da vardır.
    Buna göre K=M/(x13*13)=x1*x2*...*x12 K tamsayısı öyle bir tamsayıdır ki bu oniki tamsayıya tam olarak bölünmesi gerekir. Buna göre ilk olarak M=x13*x13 olduğunu varsaydığımız durumda K=x13/13 olacaktır x13>2010 koşuluna uygun K=155 dir. Buna göre;
    k=155 ise x13(1)=2015
    k=156 ise x13(2)=2015+(K-155)*13
    .
    .
    k=1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12=479001600 olması durumunda x13=6.227.020.800 olmalıdır.
    kısaca x1=1, x2=2, x3=3, x4=4, x5=5, x6=6, x7=7, x8=8, x9=9, x10=10, x11=11, x12=12 ve x13=6.227.020.800 dür...

  3. #3

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Matematik Öğretmeni

    Sponsorlu Bağlantılar

    Sayın kontdragon333, eşitliğin sol tarafı ile ile ilgili hiçbir işlem yapmamışsınız Gerçi verdiğiniz sayıların sağlayıp sağlamadığına bakmak lazım ama bilmiyorum. Bu arada yaptığınız ispat doğruysa matematikte yeni bir çığır açacağınızın farkındasınızdır sanırım. M sayısını hem 13 tane sayının kareleri toplamı olarak hem de M=x13*x13 olarak kabul ediyorsunuz. Daha 3 tane sayının kareleri toplamının herhangi bir sayıya eşit olduğu gösterilememişken (ben öyle biliyorum) 13 sayının kareleri toplamının bir sayının karesine eşit olduğunu kabul etmek doğru mu sizce. Hem de bu sayı, 13 sayıdan biri iken. İspat zaten yanlış oluyor gibi.

  4. #4

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer
    bulduğunuz K tamsayısı denklemin gereği olarak bizatihi o ilk 12 sayının çarpımıdır zaten.

    bulduğunuz sayılara bakılırsa da denklem sağlanmıyor çünkü denklemin sol tarafı
    1+1+0+1+1+0+1+1+0+1+1+0+0=8=2(mod3)
    ama sağ taraf =0(mod3)

    2 tane de not düşeyim soruyla ilgili
    -13 sayısının hiçbir önemi yok isterseniz mesela 16 tane sayının kareleri toplamı bu sayıların çarpımının 16 katına eşit verilsin denklem yine de böyle bir soru sorulabilirdi.
    -sayılar sizin bulduğunuz gibi farklı olmak zorunda değil bazıları ya da hepsi eşit olabilir.

  5. #5

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Matematik Öğretmeni
    Üstad, içimden bir ses, bu soruda da böyle sayıların olmayacağını söyüyor. Ama tam ispatını yapamadım.

  6. #6

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer
    içimden bir ses, bu soruda da böyle sayıların olmayacağını söyüyor. Ama tam ispatını yapamadım.
    hocam böyle sayılar var, ispatını yapamamanız normal
    en kötü durum da budur bişeyi düşünürsünüz ama tersi doğrudur siz düşündüğünüzü ispatlamaya çalışırsınız olmaz bir türlü

  7. #7

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Matematik Öğretmeni
    Yok diye şartlamadım kendimi ama ilk tespitlerim olmayacağı yönünde.

  8. #8

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer
    (x1,x2,x3,...,x13)

    x12+x22+x32+...+x132=13x1x2x3...x13

    denklemini sağlıyor olsun.

    o zaman
    (x2,x3,...,x13,(13.x2.x3.....x13-x1)) de denklemi sağlar bunu gösterelim.

    kolaylık olsun diye t=13x2x3...x13 olsun

    x22+x32+...+x132+(t-x1(=?) t.(t-x1)

    t.x1-x12+(t-x1(=?) t²-t.x1

    t.x1-x12+t²-2t.x1+x12 (=?) t²-t.x1

    t²-t.x1 = t²-t.x1

    bu eşitliği gösterdiğimize göre şimdi denklemi sağlayan bir grup bulalım.
    denklemin açık çözümü (1,1,1,1,...,1) dir

    yukarıda ispatladığımız denklikten faydalanarak yeni çözümler bulalım
    (1,1,...,1,13.1.1...1-1)=(1,1,1,...,1,12) yeni bir çözümdür
    (1,1,...,1,12,13.1.1...1.12-1)=(1,1,...,1,12,155) yeni bir çözümdür
    (1,1,...,1,12,155,13.12.155-1)=(1,1,...,1,12,155,24179) yeni bir çözümdür ve bu son bulduğumuz çözümde 2010 dan büyük bir x değeri de mevcuttur.
    ispat tamamlanmış oldu.

  9. #9

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Matematik Öğretmeni
    İspatınızı tam anlayamadım üstadım, şimdi uykuluyum. Dinlengin olduğumda bir daha bakıcam.
    3 tür beyin vardır.
    Küçük beyinler, insanları;
    Orta beyinler, olayları;
    Büyük beyinler, fikirleri;
    tartışır.

  10. #10

    Statü
    Grubu
    Üye
    İş
    Veli
    Çözüm güzel anladım da, yalnız anlamadığım nokta (13.x2.x3.....x13-x1)'in nereden nasıl bulunduğu???


 
1 2

  • Bu yazıyı beğenerek
    destek
    verebilirsiniz

    Foruma üye olmana gerek yok! Facebook hesabınla yorumlarını bekliyoruz!
  • Benzer konular

    1. Denklem Sorusu
      Mat., bu konuyu "Özel matematik soruları" forumunda açtı.
      : 11
      : 19 Eki 2012, 17:37
    2. 2010 LYS 1 Matematik Sorusu Hakkında 2.Derece Denklem Sorusu
      hicks, bu konuyu "10. sınıf matematik soruları" forumunda açtı.
      : 3
      : 19 Eki 2012, 16:41
    3. denklem sorusu
      Karga Kardeş, bu konuyu "Ygs & Lys Matematik" forumunda açtı.
      : 1
      : 17 Eki 2012, 17:19
    4. denklem sorusu
      benay, bu konuyu "9. sınıf matematik soruları" forumunda açtı.
      : 1
      : 23 Nis 2011, 14:14
    5. denklem sorusu
      lifeorkill, bu konuyu "7. sınıf matematik soruları" forumunda açtı.
      : 2
      : 23 Şub 2011, 14:30
    Forum Kullanım ve Gizlilik Kuralları