gereksizyorumcu 10:22 19 Ara 2010 #1
x12+x22+x32+...+x132=13x1x2x3...x13 denklemini sağlayan ve en az bir tanesi 2010 dan büyük olan (x1,x2,x3,...,x13) pozitif tamsayıları bulunuz.
kontdragon333 14:43 22 Ara 2010 #2
bu denklem bir M tamsayısına eşittir. Mesela x13'ün 2010'dan büyük olduğunu varsayarsak buna göre;
x1*x1+x2*x2+..x13*x13=M=13*x1*x2*...*x13=13*K*x13 denklemini sağlayan bir K tamsayısı da vardır.
Buna göre K=M/(x13*13)=x1*x2*...*x12 K tamsayısı öyle bir tamsayıdır ki bu oniki tamsayıya tam olarak bölünmesi gerekir. Buna göre ilk olarak M=x13*x13 olduğunu varsaydığımız durumda K=x13/13 olacaktır x13>2010 koşuluna uygun K=155 dir. Buna göre;
k=155 ise x13(1)=2015
k=156 ise x13(2)=2015+(K-155)*13
.
.
k=1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12=479001600 olması durumunda x13=6.227.020.800 olmalıdır.
kısaca x1=1, x2=2, x3=3, x4=4, x5=5, x6=6, x7=7, x8=8, x9=9, x10=10, x11=11, x12=12 ve x13=6.227.020.800 dür...
x1*x1+x2*x2+..x13*x13=M=13*x1*x2*...*x13=13*K*x13 denklemini sağlayan bir K tamsayısı da vardır.
Buna göre K=M/(x13*13)=x1*x2*...*x12 K tamsayısı öyle bir tamsayıdır ki bu oniki tamsayıya tam olarak bölünmesi gerekir. Buna göre ilk olarak M=x13*x13 olduğunu varsaydığımız durumda K=x13/13 olacaktır x13>2010 koşuluna uygun K=155 dir. Buna göre;
k=155 ise x13(1)=2015
k=156 ise x13(2)=2015+(K-155)*13
.
.
k=1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12=479001600 olması durumunda x13=6.227.020.800 olmalıdır.
kısaca x1=1, x2=2, x3=3, x4=4, x5=5, x6=6, x7=7, x8=8, x9=9, x10=10, x11=11, x12=12 ve x13=6.227.020.800 dür...
MatematikciFM 15:04 22 Ara 2010 #3
Sayın kontdragon333, eşitliğin sol tarafı ile ile ilgili hiçbir işlem yapmamışsınız Gerçi verdiğiniz sayıların sağlayıp sağlamadığına bakmak lazım ama bilmiyorum. Bu arada yaptığınız ispat doğruysa matematikte yeni bir çığır açacağınızın farkındasınızdır sanırım. M sayısını hem 13 tane sayının kareleri toplamı olarak hem de M=x13*x13 olarak kabul ediyorsunuz. Daha 3 tane sayının kareleri toplamının herhangi bir sayıya eşit olduğu gösterilememişken (ben öyle biliyorum) 13 sayının kareleri toplamının bir sayının karesine eşit olduğunu kabul etmek doğru mu sizce. Hem de bu sayı, 13 sayıdan biri iken. İspat zaten yanlış oluyor gibi.
gereksizyorumcu 15:44 22 Ara 2010 #4
bulduğunuz K tamsayısı denklemin gereği olarak bizatihi o ilk 12 sayının çarpımıdır zaten.
bulduğunuz sayılara bakılırsa da denklem sağlanmıyor çünkü denklemin sol tarafı
1+1+0+1+1+0+1+1+0+1+1+0+0=8=2(mod3)
ama sağ taraf =0(mod3)
2 tane de not düşeyim soruyla ilgili
-13 sayısının hiçbir önemi yok isterseniz mesela 16 tane sayının kareleri toplamı bu sayıların çarpımının 16 katına eşit verilsin denklem yine de böyle bir soru sorulabilirdi.
-sayılar sizin bulduğunuz gibi farklı olmak zorunda değil bazıları ya da hepsi eşit olabilir.
bulduğunuz sayılara bakılırsa da denklem sağlanmıyor çünkü denklemin sol tarafı
1+1+0+1+1+0+1+1+0+1+1+0+0=8=2(mod3)
ama sağ taraf =0(mod3)
2 tane de not düşeyim soruyla ilgili
-13 sayısının hiçbir önemi yok isterseniz mesela 16 tane sayının kareleri toplamı bu sayıların çarpımının 16 katına eşit verilsin denklem yine de böyle bir soru sorulabilirdi.
-sayılar sizin bulduğunuz gibi farklı olmak zorunda değil bazıları ya da hepsi eşit olabilir.
MatematikciFM 03:43 23 Ara 2010 #5
Üstad, içimden bir ses, bu soruda da böyle sayıların olmayacağını söyüyor. Ama tam ispatını yapamadım.
gereksizyorumcu 04:13 23 Ara 2010 #6 içimden bir ses, bu soruda da böyle sayıların olmayacağını söyüyor. Ama tam ispatını yapamadım.
en kötü durum da budur bişeyi düşünürsünüz ama tersi doğrudur siz düşündüğünüzü ispatlamaya çalışırsınız olmaz bir türlü
MatematikciFM 05:36 23 Ara 2010 #7
Yok diye şartlamadım kendimi ama ilk tespitlerim olmayacağı yönünde.
gereksizyorumcu 04:10 12 Oca 2011 #8
(x1,x2,x3,...,x13)
x12+x22+x32+...+x132=13x1x2x3...x13
denklemini sağlıyor olsun.
o zaman
(x2,x3,...,x13,(13.x2.x3.....x13-x1)) de denklemi sağlar bunu gösterelim.
kolaylık olsun diye t=13x2x3...x13 olsun
x22+x32+...+x132+(t-x1)² (=?) t.(t-x1)
t.x1-x12+(t-x1)² (=?) t²-t.x1
t.x1-x12+t²-2t.x1+x12 (=?) t²-t.x1
t²-t.x1 = t²-t.x1
bu eşitliği gösterdiğimize göre şimdi denklemi sağlayan bir grup bulalım.
denklemin açık çözümü (1,1,1,1,...,1) dir
yukarıda ispatladığımız denklikten faydalanarak yeni çözümler bulalım
(1,1,...,1,13.1.1...1-1)=(1,1,1,...,1,12) yeni bir çözümdür
(1,1,...,1,12,13.1.1...1.12-1)=(1,1,...,1,12,155) yeni bir çözümdür
(1,1,...,1,12,155,13.12.155-1)=(1,1,...,1,12,155,24179) yeni bir çözümdür ve bu son bulduğumuz çözümde 2010 dan büyük bir x değeri de mevcuttur.
ispat tamamlanmış oldu.
x12+x22+x32+...+x132=13x1x2x3...x13
denklemini sağlıyor olsun.
o zaman
(x2,x3,...,x13,(13.x2.x3.....x13-x1)) de denklemi sağlar bunu gösterelim.
kolaylık olsun diye t=13x2x3...x13 olsun
x22+x32+...+x132+(t-x1)² (=?) t.(t-x1)
t.x1-x12+(t-x1)² (=?) t²-t.x1
t.x1-x12+t²-2t.x1+x12 (=?) t²-t.x1
t²-t.x1 = t²-t.x1
bu eşitliği gösterdiğimize göre şimdi denklemi sağlayan bir grup bulalım.
denklemin açık çözümü (1,1,1,1,...,1) dir
yukarıda ispatladığımız denklikten faydalanarak yeni çözümler bulalım
(1,1,...,1,13.1.1...1-1)=(1,1,1,...,1,12) yeni bir çözümdür
(1,1,...,1,12,13.1.1...1.12-1)=(1,1,...,1,12,155) yeni bir çözümdür
(1,1,...,1,12,155,13.12.155-1)=(1,1,...,1,12,155,24179) yeni bir çözümdür ve bu son bulduğumuz çözümde 2010 dan büyük bir x değeri de mevcuttur.
ispat tamamlanmış oldu.
MatematikciFM 09:03 12 Oca 2011 #9
İspatınızı tam anlayamadım üstadım, şimdi uykuluyum. Dinlengin olduğumda bir daha bakıcam.
kontdragon333 10:07 13 Oca 2011 #10
Çözüm güzel anladım da, yalnız anlamadığım nokta (13.x2.x3.....x13-x1)'in nereden nasıl bulunduğu???