Alıştırma soruları

1. Her n doğal sayısı için düzlemde verilen 2n+1 noktanın istenen bir tanesinden geçen ve noktaların n tanesini bir tarafında , kalan n tanesini de diğer tarafında bulunduran bir doğru çizilebilir mi?

2. 11111 den 99999 a kadar tüm sayılar her kartta bir sayı olmak üzere kartlara yazılıp kartlar istenen bir sırayla yan yana diziliyor. Oluşan sayının 3 ün kuvveti olamayacağını gösteriniz.

2n+1 tek sayı olduğundan ilk soruda her doğal sayı için mümkün görünüyor öğretmenim.yanlış yorumlamadıysam eğer.ama 0 için nasıl oluyor onu anlamadım

C.2
Bu sayıları kullanarak oluşturacağımız tüm sayıların çözümlemesi şuna benzer:
a+b.10⁵+c.10¹⁰+.......+z.10ⁿ
(a,b,c,z∈A ve A={x: x∈N ve 11110<x<100000})
k∈Z⁺ olmak üzere;
10^k=1 (mod9) olduğundan soruda elde ettiğimiz sayının mod 9'daki karşılığını yazarken 10'un kuvvetlerini yazmamıza gerek yok. Sayımıza-oluşturulabilecek bütün sayıları temsil eden sayımıza- S diyelim.
S=a+b+c+......z (mod 9) olur.
Yani oluşturabilecek tüm sayıların mod 9'daki karşılığı sabittir ve 11111'den 99999'a kadar olan sayıların toplamının mod 9'daki değerine eşittir.
Sayıları mod 9'da inceleyelim.
11111=5 (mod9)
99999=0 (mod9)
Bu sayıların;
n tanesi mod 9'da 5'e,
n tanesi mod 9'da 6'ya
n tanesi mod 9'da 7'ye
n tanesi mod 9'da 8'e
n tanesi mod 9'da 0'a
(n-1) tanesi mod 9'da 1'e
(n-1) tanesi mod 9'da 2'ye
(n-1) tanesi mod 9'da 3'e
(n-1) tanesi mod 9'da 4'e denktir.
Bu sayılar toplamda (99999-11111+1)=88889 tanedir. Dolayısıyla 9n-4=88889 . n= 9877'dir.
n=4 (mod 9)
Bu sayıların toplamının mod 9'daki karşılığını arıyorduk:
S=5n+6n+7n+8n+0.n+(n-1).1+(n-1).2+(n-1).3+(n-1).4 (mod 9)
S=n.(26)+(n-1).(10)
S=4.8+3 (mod9)
S=8 (mod9)
O halde bu sayılardan oluşturulabilecek tüm sayıların mod 9'daki değeri sabittir ve 8'dir.
Şimdi çelişki yöntemi:
Kabul edelim ki; 11111'den 99999'a kadar olan sayıları birer kez kullanarak 3'ün kuvveti olan bir sayı yakalayabilelim. Elbetteki bu sayı 3'den büyüktür. O halde bu sayıya 3^x dersek; x>2 'dir. x-2>0 olur.
3^x=3^x-2.3² olur.
O halde bu sayı 9'un katıdır. Yani mod 9'da değeri sıfırdır. Ancak yukarıda belirlitilen nedenlerden ötürü oluşabilecek tüm sayıların mod 9'daki değeri 8'dir.
8≠0'dır. Elde edilen çelişkiden dolayı baştaki kabulümüz yanlıştır. Yani;
11111'den 99999'a kadar olan sayıları birer kez kullanarak 3'ün kuvveti olan bir sayı elde edilemez.

bu kadar açık bi soru olduğunu hatırlamıyorum. senin (ve eğer orijinali 99999 ise soruyu soranın) affına sığınarak 99999 yerine 88888 yazıp soruyu biraz zorlaştıralım diyorum.

mod9 yerine mod3 bakmak daha pratik sonuçlar doğurur şöyleki
sayıların içinden 11111 sayısını çıkarıp diğerlerine 11112,11113,11114,11115,...,99996,99997,99998,99999 şeklinde mod3 bakın
şöyle gidiyor sonuçlar
0,1,2,0,1,2,0,1,2,...0,1,2,0
tüm bunların sonuçta mod3 için 0 olduğu belli kaldı sadece 11111 sayısı
1+1+1+1+1=5=2 (mod3) demekki bu 99999-11111+1=88889 karttaki herbiri 5 basamaklı olduğundan 88889.5=444445 basamaklı sayı
(mod 3) için 2 oluyorsa tabikide 3ün kuvveti olarak yazılamaz

aynı durum 11111 ten 88888 e kadarki sayılar içinde olur

hocam 88888 e kadarki sayılar 9 a bölünmez mi?

aynı durumdan kastım bu şekilde inceleyip önce rakam toplamını 3ün katı olup olmadığına bakın değilse 3 ün kuvveti olarak yazılamaz der geçeriz
eğer rakam toplamı mod3 için 0 çıkarsa nitekim sizin yeni sorunuz için 11111+11112+11113+...+88887+88888=0 (mod3)
yazılıp yazılamayacağı için karar vermeye başka bir yol düşünün...