Eşitsizlik

a,b,c,d,e
a+b+c+d+e=8
a²+b²+c²+d²+e²=16
koşulunu sağlayan reel sayılarsa

a en çok kaç olabilir?

sorunun sayılarını hatırlayamamıştım galiba orijinali bu şekildeydi.

16/5 buldum doğru sanırım daha sonra çözüm yazarım yeni sormuşunuz henüz biraz uğraşılsın

sayıları tam hatırlamadığım için soruyu biraz farklı aktarmış olabilirim ama orijinalinin cevabı galiba 16/5 ti.

benim çözümler için ipucu vereyim:
a+b+c+d+e=8 ise b+c+d+e=8-a ........(1)
a²+b²+c²+d²+e²=16 ise b²+c²+d²+e²=16-a²........(2)

(1) ve (2) nin sol taraflarına ayrı ayrı Aritmetik-geometrik ortalama uygulayıp sonra ikisini biraraya getirip

(b+c+d+e)²≤4(b²+c²+d²+e²) bulmaya çalışın

bulmaya çalışılacak ifade zaten cauchy-schwarz eşitliğinin genel halidir.bu eşitsizlikten çözüm bikaç satırda yapılıyor zaten

a+b+c+d+e=8 ise b+c+d+e=8-a ........(1)
a²+b²+c²+d²+e²=16 ise b²+c²+d²+e²=16-a²........(2)
cauchy-schwarz eşitsizliğinden;
(b+c+d+e)²≤4(b²+c²+d²+e²) biliniyor
...(1) nolu ifadeyi sol tarafa .....(2) nolu ifadeyi sağ tarafta kullanırsak

(8-a)² ≤ 4.(16-a²)
64-16a+a² ≤ 64-4a²
5a²-16a ≤ 0
a.(5a-16) ≤ 0
a_max=16/5 bulunur

elinize sağlık hocam
artık önümüzdeki sorulara bakacağız
akşam bi bakayım eski olimpiyatlardan bi denklem ya da eşitsizlik sorusu bulursam yazayım.