Polinomlar

1)P(x)=x⁴⁸-x²⁴+x⁸-x²+mx-n

polinomunun x(x-1)(x²+x+1) ile bölümünden kalan 2x+5 olduğuna göre, mⁿ kaçtır?


Cevap:1/32


2)P(x)=2x³-ax-b polinomunun Q(x) polinomuna bölümünden kalan 3'tür.

Q(x) polinomu x²-3x+2 ile tam bölünebildiğine göre, a-b farkı kaçtır?


Cevap:29


3)P(x)=n.xⁿ+(n-1).x^n-1+.........+2.x²+x+1 polinomu veriliyor.

P(x) polinomunun x+1 ile bölümünden kalan 7 olduğuna göre, katsayılarının toplamı kaçtır?


Cevap:79

4)P(x)=x⁶+x⁵-x⁴-x³
Q(x)=x⁴-x³-x²+x

polinomlarının EBOB 'u aşağıdakilerden hangisidir.

Cevap: x³-x


5)x³-2x²-11x=x.P(x)+2P(x)-3x

olduğuna göre, P(x+2) polinomunun eşiti aşağıdakilerden hangisidir.

Cevap:x²-4


6)P(x²-1)(x+1)=x³+ax²+cx-3

olduğuna göre, P(x) polinomunun x-3 ile bölümünden kalan kaçtır?

Cevap:5

7)a, b, c, d tamsayılar olmak üzere,

P(x)=ax³+bx²+cx+d polinomu veriliyor.

P(x) polinomu x²-1 ile tam bölünebildiğine göre, a+b-c-d toplamının alabileceği en küçük pozitif değer kaçtır?

Cevap:2




Sonsuz teşekkürler.

Güncel.

1.
P(x)=Q(x).x(x-1)(x²+x+1)+2x+5 olduğuna göre , P(x) in x ile bölümünden kalan 5 olmalıdır.
→ P(0)=5 → n=-5
P(x) in (x-1) ile bölümünden kalan da 2.1+5=7 olmalıdır.
P(1)=7 → 1-1+1-1+m-n=7 → m=2
2^-5=1/32


2.
P(x)=Q(x).d(x)+3
P(x)=(x²-3x+2).k(x).d(x)+3
x²-3x+2=(x-2).(x-1) olduğundan P(x) in (x-1) ve (x-2) ile bölümünden kalan 3 olmalıdır.
P(1)=P(2)=3 → a=14 ve b=-15 bulunur , a-b=29

3.
P(-1)=7 olduğu verilmiş.
polinom küçük kuvvetli terimden başlanıp toplanmaya başlanırsa
P(-1)=1-1+2-3+4-5+6...
P(-1)=1+(2-1)+(4-3)+(6-5)+...
görüldüğü gibi her parantezin içi 1 oluyor öyleyse 7 tane parantez olmalıdır.
yani polinomun derecesi 12 olmalıdır
polinomun katsayıları
1,1,2,3,...,11,12 ise toplamları da 1+(12.13/2)=1+78=79 olur


4.
polinom bölmesinden faydalanarak öklid algoritması uygulanır. (herhangi iki sayının ebobunu da öklid algoritması ile bulabiliriz)

derecesi büyük olan polinomu derecesi küçük olan polinoma sürekli böleriz
ilk işlemde bölüm x²+2x+2 , kalan 2x³-2x oluyor

artık kalan küçük polinomumuz , bölen büyük polinomumuzdur , yine böleriz
bölüm x/2-1/2 olur kalansa 0 olur. yani tam böler. 0 kalanını elde ettiğimize göre 2x³-2x bu iki polinomun ortakl bölenidir. bölerken bölüm 1/2 li çıktığından sanırım bunu 2 ye bölüp sonucu x³-x bulmalıyız.

ayrıca çarpanlara ayrılarak da sonuç çıkıyodur ama ben böyle yapayım dedim.


5.
→ x³-2x²-8x=x.P(x)+2.P(x) → P(x)=(x³-2x²-8x)/(x+2)
bölme işlemi yapılırsa P(x)=x²-4x bulunur.
P(x+2)=x²+4x+4-4x-8=x²-4 bulunur.

ayrıca yine başka yol larak P(x)=ax²+bx+c denilip denklem çözülebilirdi.


6.
x=-1 yazılırsa a-c=4 ya da a=c+4 bulunur , bize P(3) nedir diye soruluyor. P(3)=K olsun
x=2 yazıldığında
K.3=8+(c+4).4+c.2-3=21+6c
x=-2 yazılırsa
K.(-1)=-8+(c+4).4+c.(-2)-3=5+2c

3K=21+6c , -K=5+2c → ikinci denklem3 ile çarpılıp ilkinden çıkarılırsa
6K=21+6c-15-6c=6 → P(3)=1 bulunur , cevap 5 demiş işlem hatası yapmış olabilirim ama bu yolla kesin çözülür


7.
bu polinom x²-1 ile tam bölünüyosa x+1 ve x-1 ile de tam bölünür yani P(1)=P(-1)=0

P(1)=a+b+c+d=P(-1)=-a+b-c+d=0

bu iki ifadeyi taraf tarafa toplarsak a ve c ler gider b+d=0 bulunur , öyleyse a+c=0 olur
b=-d , a=-c
bize a+b-c-d , pozitif olarak en küçük ne değer alır diye soruluyor
ifadeyi gruplarsak
(a-c)+(b-d)=2a+2b
a ve b tamsayı olduklarına göre bu ifade 2 ye bölünmelidir ve pozitifse en küçük 2 olabilir.

şimdi 2 için değer de üretmeliyiz bunu da a=1 ve b=0 alarak yaparız
x³-x ifadesi x²-1 ile tam bölünür.

6. soruda yaptığım işleme göre c=-3 ve a=1 bulunuyor , P(x)=x-2 oluyor
ifade şöyle oluyor
P(x²-1).(x+1)=x³+x²-3x-3
P(x²-1)=x²-3 , P(x)=x-2

oldukça tutarlı, sanırım sorunun cevabını anahtarda yanlış vermişler cevap 1 olmalı.

Hocam gerçekten candan teşekkürler. Evet, hocam bu kitapta çok fazla hatalı soru var. Hatta çözümlü soruların çözümünde bile hata yapmışlar. Hocam tüm çözümleri anladım ama 5. çözümü anlayamadım. Özellikle "x.P(x)+2.P(x)" buradaki ifadede ne yapmam gerektiğini anlayamadığım için "ax²+bx+c " bunu kullanamıyorum.

Hocam boş bir zamanınızda bu soruyu birazcık daha detaylı anlatırsanız çok sevinirim. Tekrar çok çok teşekkürler.

5. soruda sag tarafi P(x) parantezine alip olusan (x+2) carpanini sol tarafa bolu olarak attik direkt P(x) i polinom bolmesi yaparak bulduk.

son kisimda belirttigim diger cozumu de aksam yazmaya calisayim.

Tamam hocam şimdi anladım. Ben eşitliğin diğer tarafına takıldığım için, bunu görememiştim. Çok teşekkürler.

.10. Sınıf Çözümlü Polinom Soruları Çözümlü Polinom Soruları polinom soruları Polinomların Katsayılar Toplamı Polinomlarla İlgili Sorular
Tüm Etiketler